Résolution de l’équation de Schrödinger pour l’atome d’hydrogène

L’atome d’hydrogène est un système central de la physique quantique, souvent utilisé comme modèle pour comprendre la structure électronique des atomes. La résolution de l’équation de Schrödinger pour cet atome repose sur la symétrie sphérique du problème et le potentiel de Coulomb entre le proton (noyau) et l’électron.

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1. L’équation de Schrödinger dans le potentiel de Coulomb

L’équation de Schrödinger pour une particule de masse $m$m dans un potentiel central $V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$V(r)=-4πϵ0re2 est donné par :

$$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$$-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

En coordonnées sphériques, en raison de la symétrie radiale, la fonction d’onde $psi(r, theta, phi)$ψ(r,θ,ϕ) peut être séparée comme suit :

$$psi(r, theta, phi) = R(r) Y_l^m(theta, phi)$$ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

où :

• $R(r)$R(r) est la partie radiale de la fonction d’onde, qui ne dépend que de la distance $r$r,
• $Y_l^m(thêta, phi)$Ylm(θ,ϕ) sont les harmoniques sphériques dépendant des angles $thêta$θ et $phi$ϕ,
• $l$l est le nombre quantique orbital, et $m$m son sous-niveau magnétique.

La partie radiale satisfait une équation différentielle indépendante :

$$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} gauche( r^2 frac{dR}{dr} droite) + gauche[ frac{2m}{hbar^2} gauche( E – V(r) droite) – frac{l(l+1)}{r^2} droite] R(r) = 0$$r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

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2. Résolution de l’équation radiale

Pour résoudre cette équation, nous introduisons la variable sans dimension $rho = frac{r}{a_0}$ρ=a0r, où $a_0$a0 est le rayon de Bohr:

$$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$$a0=me24πϵ0ℏ2

La solution pour $R(r)$R(r) est une combinaison de fonctions exponentielles et de polynômes de Laguerre associés :

$$R_{n,l}(r) = N_{n,l} , rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$$Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

où :

• $n$n est le nombre quantique principal,
• $l$l est le nombre quantique orbital,
• $L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$Ln-l-12l+1(ρ) sont les polynômes de Laguerre associés,
• $N_{n,l}$Nn,l est une constante de normalisation.

Pour l’état fondamental ($n = 1, l = 0$n=1,l=0), la solution se simplifie à :

$$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3} e^{-r / a_0}$$R1,0​(r)=a03​​2​e−r/a0​

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3. Densité radiale et probabilité

La densité de probabilité radiale, qui décrit la probabilité de trouver l’électron à une distance $r$r, est donnée par

$$P(r) = |R(r)|^2 r^2$$P(r)=∣R(r)∣2r2

Pour $n = 1, l = 0$n=1,l=0, cette densité de probabilité devient :

$$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$$P(r)=a03​4​e−2r/a0​r2

Ceci montre une décroissance exponentielle modulée par un facteur géométrique $r^2$r2. Cette combinaison reflète la dualité entre la localisation radiale de l’électron et la symétrie sphérique.

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De l’atome d’hydrogène aux ondes générales : Une décomposition universelle

La solution pour l’atome d’hydrogène est construite sur une combinaison d’exponentielles ($e^{-r}$e-r) et de termes polynomiaux. Cette structure est typique de la modélisation des ondes ou des champs. Une idée clé en physique mathématique est que toutes les ondes ou champs peuvent être décomposés en sommes d’exponentielles complexes, similaires aux séries de Fourier.

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4. Décomposition des ondes en exponentielles

La décomposition d’une fonction ou d’une onde $f(r)$f(r) peuvent être généralisées comme des sommes ou des intégrales de la forme :

$$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$$f(r)=∫A(k)e-krdk

où :

• $A(k)$A(k) est une amplitude qui dépend de $k$k,
• $e^{-kr}$e-kr représente une composante élémentaire.

Cette idée est analogue aux séries de Fourier, où les fonctions périodiques sont exprimées comme des sommes de $e^{iomega t}$eiωt, mais nous traitons ici des fonctions non périodiques ou localisées.

En théorie des abeilles, ce principe est généralisé pour décrire n’importe quelle onde ou champ à l’aide de termes de la forme $A e^{-kr}$Ae-kr, englobant non seulement les solutions quantiques comme celles de l’atome d’hydrogène, mais aussi les modèles de gravité ou d’interactions fondamentales.

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Théorie de l’abeille et sommations de $e^{-R}$e-R

Dans la Théorie de l’abeille, l’idée centrale est d’étendre cette décomposition à toutes les interactions de type ondulatoire. Nous savons que :

1. Les ondes électromagnétiques (solutions des équations de Maxwell) se décomposent en harmoniques sphériques et en exponentielles.
2. Les solutions quantiques pour les atomes utilisent déjà des bases exponentielles comme $e^{-r/a}$e-r/a.
3. Les interactions gravitationnelles et les potentiels comme celui de Yukawa (en physique des particules) sont modélisés par des décroissances exponentielles.

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5. Le lien universel : Toute onde en tant que superposition

La théorie de l’abeille propose que toute interaction ondulatoire (qu’elle soit électromagnétique, gravitationnelle ou autre) puisse être modélisée comme une somme de termes $A e^{-R}$Ae-R, où $R$R généralise la distance ou une coordonnée :

$$Phi(R) = sum_{i} A_i e^{-k_i R}$$Φ(R)=i∑Aie-kiR

Cette approche :

• unifie les solutions classiques (Maxwell, Schrödinger) et modernes (potentiels criblés comme Yukawa),
• Fournit une vision simplifiée des interactions fondamentales,
• offre un cadre pour simuler ou décrire des phénomènes complexes.

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6. Extension à toutes les ondes

• Gravité: Dans les cadres quantiques, le potentiel gravitationnel peut être considéré comme une somme de $e^{-R}$e-R (modèle d’écrantage gravitationnel).
• Physique quantique: Les états quantiques, tels que ceux de l’atome d’hydrogène, démontrent déjà cette base exponentielle.
• Cosmologie: Les fluctuations du fond diffus cosmologique ou des ondes gravitationnelles peuvent être exprimées à l’aide de termes exponentiels.

En unifiant les modèles d’interaction par des sommes de $e^{-R}$e-R, BeeTheory offre un cadre général pour la modélisation de toutes les formes d’ondes, que ce soit dans un contexte quantique, classique ou cosmologique.

Si vous souhaitez approfondir cette théorie ou explorer ses applications, BeeTheory est conçu pour fournir des outils de modélisation accessibles et puissants afin d’unifier les phénomènes physiques dans un cadre commun basé sur les ondes.