Resumen matemático de BeeTheory: Modelo de interacción gravitatoria
Teoría de la abeja: Explorando una nueva perspectiva sobre la gravedad
El proyecto Bee-Theory investiga una novedosa teoría sobre la gravedad, proponiendo que las fuerzas gravitatorias surgen de la suma de las funciones de onda de dos partículas. Este concepto sugiere que la suma de dos términos radiales exp(-x) de la ecuación de Schrödinger genera una fuerza atractiva con un potencial proporcional a 1/D y una fuerza proporcional a 1/D2.
Hitos clave
- 2015: Inicio del proyecto.
- 2016: Formalización de las ideas iniciales.
- 2023: Teoría matemática desarrollada utilizando coordenadas esféricas y el Laplaciano para dos partículas, en colaboración con ChatGPT.
Oportunidades de colaboración
Bee-Theory busca revisores y colaboradores avanzados para evaluar y perfeccionar su marco teórico.
Recursos
- Resumen en inglés y primera revisión matemática:
20231226_BeeTheory_v2_EN - Résumé en Français / Première Formalisation Mathématique:
20231226_BeeTheory_v2 - Presentación básica:
Bee-Theory_v3-6
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Consideramos dos partículas elementales ( A_0 ) y ( B_0 ) modeladas por funciones de onda que sumamos:
[
Psi(x, y, z, t) = Psi(A, t) + Psi(B, t)
]
[
Psi(x, y, z, t) = A cdot e^{-alfa({x, y, z} – A_0)} cdot e^{iomega_1 t} + B cdot e^{-beta({x, y, z} – B_0)} cdot e^{iomega_2 t}
]
Cambiamos el marco de referencia a coordenadas esféricas:
[
Psi(R, t) = A cdot e^{-alfa(R_A-A_0)} cdot e^{iomega_1 t} + B cdot e^{-beta(R_B-B_0)} cdot e^{iomega_2 t}
]
Las posiciones de las partículas ( A_0 ) y ( B_0 ) se consideran fijas en la escala temporal considerada. Nos centramos alrededor de la segunda partícula ( B_0 ):
[
Psi(R, t) = Psi(R_B + r, t)
]
[
R_A = R_{A0B0} + r, quad R_B = r, quad r text{ es pequeño}.
]
[
Psi(R, t) = A cdot e^{-alfa(R_{A0B0} + r)} cdot e^{iomega_1(t+d_1)} + B cdot e^{-beta r} cdot e^{iomega_2(t+d_2)}
]
Aplicamos la ecuación de Schrödinger, considerando que sólo hay energía cinética y no energía potencial. ( V ) es nula en todas partes.
[
ihbar frac{parcial}{parcial t} Psi(R,t) = T + V = T
]
[
ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R,t) = -2mhbar^2 nabla^2 Psi(R, t)
]
Situándonos en ( B_0 ), simplificamos calculando sólo el primer término relacionado con ( A ), el término relacionado con ( B ) es nulo en ( B_0 ); extraemos el término en ( R_{A0B0} ) que es una constante:
[
ihbar frac{parcial}{parcial t} Psi(R,t) = -2mhbar^2 nabla^2(A e^{-alfa R_{A0B0}} cdot e^{-alfa cdot r/R_{A0B0}})
]
Utilizando el Laplaciano en coordenadas esféricas para una función que depende sólo de ( r ):
[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr} (r^2 frac{df}{dr})
]
[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr} (r^2 cdot frac{d}{dr} e^{-alfa cdot r/R_{A0B0}})
]
[
r^2 cdot frac{d}{dr} psi(r) = r^2 cdot frac{d}{dr} (e^{-alfa r/R_{A0B0}}) = r^2 cdot (–alfa r/R_{A0B0}) cdot e^{-alfa r/R_{A0B0}}
]
[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr}(r^2 cdot -alfa r/R_{A0B0} cdot e^{-alfa r/R_{A0B0}})
]
[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} cdot -alfa/R_{A0B0} cdot frac{d}{dr}(r^3 cdot e^{-alfa r/R_{A0B0}})
]
Recordando que ( R_{A0B0} ) es grande y ( r ) muy pequeña:
[
nabla^2 f(r) aprox -3alfa/R_{A0B0}
]
Por lo tanto, obtenemos un potencial proporcional al inverso de la distancia entre las partículas.
En el ámbito de la mecánica cuántica, la descripción de las partículas como funciones de onda representa un cambio fundamental con respecto a la física clásica, que suele tratar a las partículas como entidades discretas con posiciones y velocidades definidas. Esta transición conceptual a la dualidad onda-partícula permite una comprensión más completa del comportamiento de las partículas subatómicas, como los electrones y los fotones, sobre todo en lo que se refiere a sus interacciones, su propagación y los efectos del confinamiento en sus estados cuánticos.
La mecánica cuántica postula que cada partícula está asociada a una función de onda, que proporciona una descripción probabilística de su estado cuántico en función de la posición y el tiempo. La función de onda, a menudo denotada como Ψ (Psi), encapsula toda la información sobre el estado cuántico de una partícula y es fundamental para predecir cómo evoluciona ese estado con el tiempo según la ecuación de Schrödinger.
Esta introducción se adentra en el modelado matemático de las funciones de onda de dos partículas elementales, explorando su suma y sus interacciones a través de un marco matemático exhaustivo. Estas partículas se modelan de un modo que nos permite examinar su dinámica bajo diversas transformaciones, como los cambios de sistema de coordenadas, y las interacciones en el marco de la mecánica cuántica no relativista.
Representación matemática de las funciones de onda
La forma estándar de una función de onda para una partícula en mecánica cuántica es de valor complejo, incorporando tanto una amplitud como una fase. Esta función es una solución a la ecuación de Schrödinger, que describe cómo evoluciona la función de onda en el espacio y el tiempo. La ecuación es lineal y permite la superposición de soluciones, lo que significa que si dos funciones de onda son soluciones, su suma también lo es. Este principio subyace en nuestro enfoque para modelar las interacciones entre partículas utilizando sus respectivas funciones de onda.
Modelización de las interacciones entre partículas
Para nuestro modelo, consideramos dos partículas, designadas como A0 y B0, cada una descrita por su función de onda. El sistema global se describe entonces por la superposición de estas funciones de onda, dando lugar a una función de onda combinada que proporciona un campo de amplitudes de probabilidad. El análisis de estas superposiciones nos ayuda a comprender cómo las partículas influyen en los estados cuánticos de las demás a través de fenómenos como la interferencia y el entrelazamiento.
Transición a las coordenadas esféricas
En el análisis de sistemas cuánticos, la elección de un sistema de coordenadas adecuado puede simplificar significativamente el tratamiento matemático, especialmente cuando se trata de sistemas esféricamente simétricos como los átomos o los pozos de potencial esféricos. Al pasar a coordenadas esféricas, podemos describir más eficazmente las dependencias radiales y las propiedades del momento angular del sistema. Esta transformación de coordenadas es crucial cuando la simetría natural del sistema físico se alinea con las coordenadas esféricas, lo que suele ocurrir en los sistemas atómicos y moleculares.
Centrarse en la energía cinética
En nuestro modelo, suponemos que la energía potencial V es nula, lo que implica que nos centramos únicamente en el componente de energía cinética del sistema cuántico. Esta simplificación es común en tratamientos teóricos de partículas libres o para ilustrar conceptos fundamentales de la mecánica cuántica sin los factores de complicación de las energías potenciales. El operador de energía cinética, denotado como T, se convierte entonces en el conductor principal de la dinámica descrita por la función de onda.
Técnicas matemáticas avanzadas
El uso de técnicas matemáticas avanzadas como el Laplaciano en coordenadas esféricas se hace indispensable en nuestro análisis. Estas técnicas nos permiten profundizar en los aspectos diferenciales de la función de onda, proporcionando una visión de cómo los cambios en la configuración espacial del sistema influyen en el comportamiento de las partículas. El operador laplaciano, en particular, desempeña un papel clave a la hora de determinar cómo evolucionan en el espacio la amplitud y la fase de la función de onda, lo que está directamente relacionado con las propiedades observables del sistema, como la distribución de posiciones y momentos.
En conclusión, esta introducción sienta las bases para una exploración detallada del modelado mecánico cuántico de las interacciones entre partículas. Al examinar la superposición de funciones de onda y la aplicación de la ecuación de Schrödinger en un contexto desprovisto de energía potencial, pretendemos descubrir la dinámica matizada de las partículas elementales en un marco puramente cinético, enriqueciendo así nuestra comprensión de la mecánica cuántica y sus principios fundacionales.
Desglosemos los componentes clave y resumamos la progresión matemática:
1. Representación de la función de onda
Dos partículas, A0 y B0, se modelan mediante sus funciones de onda:
Ψ(x,y,z,t)=Ae-α({x,y,z}-A0)eiω1t+Be-β({x,y,z}-B0)eiω2t.
Esta representación supone:
- Términos de amplitud (A,B) y decaimiento espacial (e-αr,e-βr).
- Dependencia temporal oscilatoria (eiωt) característica de los estados cuánticos.
2. Cambio a coordenadas esféricas
El cambio a coordenadas esféricas simplifica el análisis de las dependencias radiales, sobre todo cuando se estudian interacciones localizadas alrededor de una partícula (por ejemplo, B0):
Ψ(R,t)=Ae-α(RA0B0+r)eiω1(t+d1)+Be-βreiω2(t+d2).
Aquí
- RA0B0: La distancia fija entre partículas A0 y B0.
- r: La pequeña desviación de B0.
3. Aplicación de la ecuación de Schrödinger
Suponiendo que no hay energía potencial (V=0), el operador de energía cinética (T) gobierna la evolución de la función de onda:
iℏ∂t∂Ψ(R,t)=-2mℏ2∇2Ψ(R,t).
Centrándonos en la contribución de A, el término espacial se simplifica a
Ψ(R,t)∼Ae-αRA0B0e-αRA0B0r.
4. Laplaciano en coordenadas esféricas
Utilizando el operador laplaciano para funciones dependientes radialmente:
∇2f(r)=r21∂r∂(r2∂r∂f(r)),
calculamos
f(r)=e-αRA0B0r.
Pasos:
- Calcular r2∂r∂: r2∂r∂(e-αRA0B0r)=r2(-RA0B0αe-αRA0B0r).
- Diferencie de nuevo: ∇2f(r)≈-RA0B03α.
5. Potencial de distancia inversa emergente
El Laplaciano revela que la función de onda genera un término proporcional a RA0B0-1, lo que implica un potencial efectivo inversamente proporcional a la distancia entre partículas. Esto sugiere que los efectos gravitatorios o de interacción surgen de forma natural del formalismo de la función de onda cuántica.
Ideas físicas clave
- Interacciones de función de onda: El principio de superposición permite modelizar las interacciones entre partículas, en las que los patrones de interferencia codifican información sobre sus posiciones relativas y su dinámica.
- Dominio de la energía cinética: Asumir que no hay energía potencial centra el análisis exclusivamente en la evolución espacial y temporal impulsada por términos cinéticos.
- Analogía gravitatoria: La aparición de un término de distancia inversa en el comportamiento de la función de onda insinúa un fundamento cuántico para las interacciones de tipo gravitatorio, en las que las propiedades de onda gobiernan los efectos de largo alcance.
Orientaciones futuras
- Incorporación de la energía potencial: Añadiendo un potencial V(r) podría refinar el modelo, captando las fuerzas o campos externos que actúan sobre las partículas.
- Correcciones relativistas: Para un marco cuántico-gravitacional completo, puede ser necesaria la ampliación a ecuaciones de onda relativistas (por ejemplo, las ecuaciones de Klein-Gordon o de Dirac).
- Entrelazamiento y no localidad: El examen de cómo las funciones de onda se influyen mutuamente podría explorar los mecanismos de entrelazamiento o de interacción no local en la gravedad.
Este marco matemático proporciona un trampolín para comprender las interacciones cuánticas con una interpretación gravitatoria, tendiendo potencialmente un puente entre la mecánica cuántica y la gravedad clásica.