Resolución de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno

El átomo de hidrógeno es un sistema central en la física cuántica, utilizado a menudo como modelo para comprender la estructura electrónica de los átomos. La resolución de la ecuación de Schrödinger para este átomo se basa en la simetría esférica del problema y en el potencial de Coulomb entre el protón (núcleo) y el electrón.

---

1. La ecuación de Schrödinger en el potencial de Coulomb

La ecuación de Schrödinger para una partícula de masa $m$m en un potencial central $V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$V(r)=-4πϵ0re2 viene dada por:

$$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$$-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

En coordenadas esféricas, debido a la simetría radial, la función de onda $psi(r, theta, phi)$ψ(r,θ,ϕ) puede separarse como:

$$psi(r, theta, phi) = R(r) Y_l^m(theta, phi)$$ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

donde

• $R(r)$R(r) es la parte radial de la función de onda, que depende sólo de la distancia $r$r,
• $Y_l^m(theta, phi)$Ylm(θ,ϕ) son los armónicos esféricos dependientes de los ángulos $theta$θ y $phi$ϕ,
• $l$l es el número cuántico orbital, y $m$m su subnivel magnético.

La parte radial satisface una ecuación diferencial independiente:

$$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} izquierda( r^2 frac{dR}{dr} derecha) + izquierda[ frac{2m}{hbar^2} izquierda( E – V(r) derecha) – frac{l(l+1)}{r^2} derecha] R(r) = 0$$r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

---

2. Resolución de la ecuación radial

Para resolver esta ecuación, introducimos la variable adimensional $rho = frac{r}{a_0}$ρ=a0r, donde $a_0$a0 es el radio de Bohr:

$$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$$a0=me24πϵ0ℏ2

La solución para $R(r)$R(r) es una combinación de funciones exponenciales y polinomios de Laguerre asociados:

$$R_{n,l}(r) = N_{n,l} rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$$Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

donde

• $n$n es el número cuántico principal
• $l$l es el número cuántico orbital,
• $L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$Ln-l-12l+1(ρ) son polinomios de Laguerre asociados,
• $N_{n,l}$Nn,l es una constante de normalización.

Para el estado básico ($n = 1, l = 0$n=1,l=0), la solución se simplifica a:

$$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$$R1,0​(r)=a03​​2​e−r/a0​

---

3. Densidad radial y probabilidad

La densidad de probabilidad radial, que describe la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $r$r, viene dada por

$$P(r) = |R(r)|^2 r^2$$P(r)=∣R(r)∣2r2

Para $n = 1, l = 0$n=1,l=0, esta densidad de probabilidad se convierte en

$$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$$P(r)=a03​4​e−2r/a0​r2

Esto muestra un decaimiento exponencial modulado por un factor geométrico $r^2$r2. Esta combinación refleja la dualidad entre la localización radial del electrón y la simetría esférica.

---

Del átomo de hidrógeno a las ondas generales: Una descomposición universal

La solución para el átomo de hidrógeno se basa en una combinación de exponenciales ($e^{-r}$e-r) y términos polinómicos. Esta estructura es típica en la modelización de ondas o campos. Una idea clave en física matemática es que todas las ondas o campos pueden descomponerse en sumas de exponenciales complejos, similares a las series de Fourier.

---

4. Descomposición de ondas en exponenciales

La descomposición de una función u onda $f(r)$f(r) puede generalizarse como sumas o integrales de la forma

$$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$$f(r)=∫A(k)e-krdk

donde

• $A(k)$A(k) es una amplitud que depende de $k$k,
• $e^{-kr}$e-kr representa un componente elemental.

Esta idea es análoga a la serie de Fourier, donde las funciones periódicas se expresan como sumas de $e^{iomega t}$eiωt, pero aquí manejamos funciones no periódicas o localizadas.

En la Teoría de la Abeja, este principio se generaliza para describir cualquier onda o campo utilizando términos de la forma $A e^{-kr}$Ae-kr, abarcando no sólo soluciones cuánticas como las del átomo de hidrógeno sino también modelos para la gravedad o las interacciones fundamentales.

---

Teoría de abejas y sumas de $e^{-R}$e-R

En BeeTheory, la idea central es extender esta descomposición a todas las interacciones ondulatorias. Sabemos que

1. Las ondas electromagnéticas (soluciones de las ecuaciones de Maxwell) se descomponen en armónicos esféricos y exponenciales.
2. Las soluciones cuánticas para los átomos ya utilizan bases exponenciales como $e^{-r/a}$e-r/a.
3. Las interacciones gravitatorias y los potenciales como el de Yukawa (en física de partículas) se modelan con decaimientos exponenciales.

---

5. El vínculo universal: Cualquier onda como superposición

La Teoría de la Abeja propone que cualquier interacción ondulatoria (ya sea electromagnética, gravitatoria o de otro tipo) puede modelarse como una suma de términos $A e^{-R}$Ae-R, donde $R$R generaliza la distancia o una coordenada:

$$Phi(R) = suma_{i} A_i e^{-k_i R}$$Φ(R)=i∑Aie-kiR

Este enfoque

• Unifica las soluciones clásicas (Maxwell, Schrödinger) y las modernas (potenciales apantallados como Yukawa),
• Proporciona una visión simplificada de las interacciones fundamentales,
• Ofrece un marco para simular o describir fenómenos complejos.

---

6. Extensión a todas las ondas

• Gravedad: En los marcos cuánticos, el potencial gravitatorio puede considerarse como una suma de $e^{-R}$términos e-R (un modelo de apantallamiento gravitatorio).
• Física cuántica: Los estados cuánticos, como los del átomo de hidrógeno, ya demuestran esta base exponencial.
• Cosmología: Las fluctuaciones en el fondo cósmico de microondas o las ondas gravitacionales pueden expresarse mediante términos exponenciales.

Al unificar los modelos de interacción mediante sumas de $e^{-R}$e-R, BeeTheory ofrece un marco general para modelar todas las formas de ondas, ya sea en un contexto cuántico, clásico o cosmológico.

Si desea profundizar en esta teoría o explorar sus aplicaciones, BeeTheory está diseñada para proporcionar herramientas de modelado accesibles y potentes que permitan unificar los fenómenos físicos bajo un marco común basado en las ondas.