Lösning av Schrödingerekvationen för väteatomen

Väteatomen är ett centralt system inom kvantfysiken och används ofta som en modell för att förstå atomernas elektroniska struktur. Lösningen av Schrödingerekvationen för denna atom är beroende av problemets sfäriska symmetri och Coulombpotentialen mellan protonen (kärnan) och elektronen.

---

1. Schrödingerekvationen i Coulombpotentialen

Schrödingerekvationen för en partikel med massan $m$m i en central potential $V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$V(r)=-4πϵ0re2 ges av:

$$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$$-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

I sfäriska koordinater, på grund av den radiella symmetrin, är vågfunktionen $psi(r, theta, phi)$ψ(r,θ,ϕ) kan separeras som:

$$psi(r, theta, phi) = R(r) Y_l^m(theta, phi)$$ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

där:

• $R(r)$R(r) är den radiella delen av vågfunktionen, som endast beror på avståndet $r$r,
• $Y_l^m(theta, phi)$Ylm(θ,ϕ) är de sfäriska övertoner som är beroende av vinklar $theta$θ och $phi$ϕ,
• $l$l är orbitalkvanttalet, och $m$m är dess magnetiska undernivå.

Den radiella delen uppfyller en oberoende differentialekvation:

$$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} left( r^2 frac{dR}{dr} right) + left[ frac{2m}{hbar^2} left( E – V(r) right) – frac{l(l+1)}{r^2} right] R(r) = 0$$r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

---

2. Lösning av den radiella ekvationen

För att lösa denna ekvation introducerar vi den dimensionslösa variabeln $rho = frac{r}{a_0}$ρ=a0r, där $a_0$a0 är Bohrs radie:

$$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$$a0=me24πϵ0ℏ2

Lösningen för $R(r)$R(r) är en kombination av exponentialfunktioner och tillhörande Laguerre-polynom:

$$R_{n,l}(r) = N_{n,l} , rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$$Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

där:

• $n$n är det huvudsakliga kvanttalet,
• $l$l är orbitalkvanttalet,
• $L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$Ln-l-12l+1(ρ) är associerade Laguerre-polynom,
• $N_{n,l}$Nn,l är en normaliseringskonstant.

För grundtillståndet ($n = 1, l = 0$n=1,l=0), förenklas lösningen till:

$$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$$R1,0​(r)=a03​​2​e−r/a0​

---

3. Radiell densitet och sannolikhet

Den radiella sannolikhetstätheten, som beskriver sannolikheten för att hitta elektronen på ett avstånd $r$r, ges av:

$$P(r) = |R(r)|^2 r^2$$P(r)=∣R(r)∣2r2

För $n = 1, l = 0$n=1,l=0, blir denna sannolikhetstäthet:

$$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$$P(r)=a03​4​e−2r/a0​r2

Detta visar ett exponentiellt förfall som moduleras av en geometrisk faktor $r^2$r2. Denna kombination återspeglar dualiteten mellan elektronens radiella lokalisering och sfäriska symmetri.

---

Från väteatomen till generella vågor: En universell nedbrytning

Lösningen för väteatomen bygger på en kombination av exponentialer ($e^{-r}$e-r) och polynomtermer. Denna struktur är typisk för våg- eller fältmodellering. En nyckelidé inom matematisk fysik är att alla vågor eller fält kan sönderdelas i summor av komplexa exponentialer, liknande Fourierserier.

---

4. Dekomponering av vågor till exponentialer

Nedbrytningen av en funktion eller våg $f(r)$f(r) kan generaliseras som summor eller integraler av formen:

$$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$$f(r)=∫A(k)e-krdk

där:

• $A(k)$A(k) är en amplitud som är beroende av $k$k,
• $e^{-kr}$e-kr representerar en elementär komponent.

Denna idé är analog med Fourierserier, där periodiska funktioner uttrycks som summor av $e^{iomega t}$eiωt, men här hanterar vi icke-periodiska eller lokaliserade funktioner.

I BeeTheory generaliseras denna princip för att beskriva alla vågor eller fält med hjälp av termer av formen $A e^{-kr}$Ae-kr, vilket inte bara omfattar kvantlösningar som de för väteatomen utan även modeller för gravitation eller grundläggande växelverkan.

---

Biteori och summeringar av $e^{-R}$e-R

I BeeTheory är den centrala idén att utvidga denna dekomponering till alla vågliknande interaktioner. Det vet vi att:

1. Elektromagnetiska vågor (lösningar av Maxwells ekvationer) sönderdelas i sfäriska övertoner och exponentialer.
2. Kvantlösningar för atomer använder redan exponentiella baser som $e^{-r/a}$e-r/a.
3. Gravitationsinteraktioner och potentialer som Yukawas (inom partikelfysiken) modelleras med exponentiella förfall.

---

5. Den universella länken: Varje våg som en superposition

BeeTheory föreslår att alla vågliknande interaktioner (vare sig de är elektromagnetiska, gravitationella eller andra) kan modelleras som en summa av termer $A e^{-R}$Ae-R, där $R$R generaliserar avstånd eller en koordinat:

$$Phi(R) = sum_{i} A_i e^{-k_i R}$$Φ(R)=i∑Aie-kiR

Detta tillvägagångssätt:

• förenar klassiska lösningar (Maxwell, Schrödinger) och moderna (skärmade potentialer som Yukawa),
• Ger en förenklad bild av grundläggande interaktioner,
• Erbjuder ett ramverk för att simulera eller beskriva komplexa fenomen.

---

6. Utvidgning till alla vågor

• Gravitation: I kvantramverk kan gravitationspotentialen ses som en summa av $e^{-R}$e-R termer (en gravitationell screeningmodell).
• Kvantfysik: Kvanttillstånd, t.ex. i väteatomen, uppvisar redan denna exponentiella grund.
• Kosmologi: Fluktuationer i den kosmiska mikrovågsbakgrunden eller gravitationsvågor kan uttryckas med hjälp av exponentiella termer.

Genom att förena interaktionsmodeller genom summor av $e^{-R}$e-R, erbjuder BeeTheory ett allmänt ramverk för modellering av alla former av vågor, oavsett om det är i ett kvant-, klassiskt eller kosmologiskt sammanhang.

Om du vill dyka djupare in i denna teori eller utforska dess tillämpningar är BeeTheory utformad för att tillhandahålla tillgängliga och kraftfulla modelleringsverktyg för att förena fysiska fenomen under ett gemensamt vågbaserat ramverk.