Resumo matemático: Modelo de interação gravitacional

Resumo matemático do BeeTheory: Modelo de interação gravitacional

Bee-Theory: Explorando uma nova perspectiva sobre a gravidade

O projeto Bee-Theory investiga uma nova teoria sobre a gravidade, propondo que as forças gravitacionais surgem da soma das funções de onda de duas partículas. Esse conceito sugere que a soma de dois termos radiais exp(-x) da equação de Schrödinger gera uma força atrativa com um potencial proporcional a $1/D$ 1/D e uma força proporcional a $1/D^2$ 1/D2.

Principais marcos

2015: Início do projeto.
2016: Formalização das ideias iniciais.
2023: Teoria matemática desenvolvida usando coordenadas esféricas e o Laplaciano para duas partículas, em colaboração com o ChatGPT.

Oportunidades de colaboração

A Bee-Theory busca revisores avançados e colaboradores para avaliar e refinar sua estrutura teórica.

Recursos

Resumo em inglês e primeira revisão matemática:
20231226_BeeTheory_v2_EN
Résumé en Français / Première Formalisation Mathématique:
20231226_BeeTheory_v2
Apresentação básica:
Bee-Theory_v3-6

Para obter mais detalhes, visite o site oficial

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Consideramos duas partículas elementares ( A_0 ) e ( B_0 ) modeladas por funções de onda que somamos:

[
Psi(x, y, z, t) = Psi(A, t) + Psi(B, t)
]

[
Psi(x, y, z, t) = A cdot e^{-alpha({x, y, z} – A_0)} cdot e^{iomega_1 t} + B cdot e^{-beta({x, y, z} – B_0)} cdot e^{iomega_2 t}
]

Mudamos o quadro de referência para coordenadas esféricas:

[
Psi(R, t) = A cdot e^{-alpha(R_A-A_0)} cdot e^{iomega_1 t} + B cdot e^{-beta(R_B-B_0)} cdot e^{iomega_2 t}
]

As posições das partículas ( A_0 ) e ( B_0 ) são consideradas fixas na escala de tempo considerada. Concentramo-nos em torno da segunda partícula ( B_0 ):

[
Psi(R, t) = Psi(R_B + r, t)
]

[
R_A = R_{A0B0} + r, quad R_B = r, quad r text{ é pequeno}.
]

[
Psi(R, t) = A cdot e^{-alpha(R_{A0B0} + r)} cdot e^{iomega_1(t+d_1)} + B cdot e^{-beta r} cdot e^{iomega_2(t+d_2)}
]

Aplicamos a equação de Schrödinger, considerando que há apenas energia cinética e nenhuma energia potencial. ( V ) é nula em todos os lugares.

[
ihbar frac{parcial}{parcial t} Psi(R,t) = T + V = T
]

[
ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R,t) = -2mhbar^2 nabla^2 Psi(R, t)
]

Posicionando-nos em ( B_0 ), simplificamos calculando apenas o primeiro termo relacionado a ( A ), o termo relacionado a ( B ) é nulo em ( B_0 ); extraímos o termo em ( R_{A0B0} ) que é uma constante:

[
ihbar frac{parcial}{parcial t} Psi(R,t) = -2mhbar^2 nabla^2(A e^{-alpha R_{A0B0}} cdot e^{-alpha cdot r/R_{A0B0}})
]

Usando o Laplaciano em coordenadas esféricas para uma função que depende apenas de ( r ):

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr} (r^2 frac{df}{dr})
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr} (r^2 cdot frac{d}{dr} e^{-alpha cdot r/R_{A0B0}})
]

[
r^2 cdot frac{d}{dr} psi(r) = r^2 cdot frac{d}{dr} (e^{-alpha r/R_{A0B0}}) = r^2 cdot (-alpha r/R_{A0B0}) cdot e^{-alpha r/R_{A0B0}}
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr}(r^2 cdot -alpha r/R_{A0B0} cdot e^{-alpha r/R_{A0B0}})
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} cdot -alpha/R_{A0B0} cdot frac{d}{dr}(r^3 cdot e^{-alpha r/R_{A0B0}})
]

Lembrando que ( R_{A0B0} ) é grande e ( r ) é muito pequeno:

[
nabla^2 f(r) approx -3alpha/R_{A0B0}
]

Portanto, obtemos um potencial proporcional ao inverso da distância entre as partículas.

No âmbito da mecânica quântica, a descrição das partículas como funções de onda representa uma mudança fundamental em relação à física clássica, que normalmente trata as partículas como entidades discretas com posições e velocidades definidas. Essa transição conceitual para a dualidade onda-partícula permite uma compreensão mais abrangente do comportamento das partículas subatômicas, como elétrons e fótons, especialmente em termos de suas interações, propagação e efeitos do confinamento em seus estados quânticos.

A mecânica quântica postula que cada partícula está associada a uma função de onda, que fornece uma descrição probabilística de seu estado quântico como uma função de posição e tempo. A função de onda, geralmente denotada como Ψ (Psi), encapsula todas as informações sobre o estado quântico de uma partícula e é fundamental para prever como esse estado evolui ao longo do tempo de acordo com a equação de Schrödinger.

Esta introdução se aprofunda na modelagem matemática das funções de onda de duas partículas elementares, explorando sua soma e interações por meio de uma estrutura matemática abrangente. Essas partículas são modeladas de uma forma que nos permite examinar sua dinâmica sob várias transformações, como mudanças no sistema de coordenadas e interações dentro da estrutura da mecânica quântica não relativística.

Representação matemática das funções de onda

A forma padrão de uma função de onda para uma partícula na mecânica quântica é de valor complexo, incorporando tanto uma amplitude quanto uma fase. Essa função é uma solução para a equação de Schrödinger, que descreve como a função de onda evolui no espaço e no tempo. A equação é linear, permitindo a superposição de soluções, o que significa que, se duas funções de onda são soluções, sua soma também é uma solução. Esse princípio é a base de nossa abordagem para modelar interações entre partículas usando suas respectivas funções de onda.

Modelagem de interações entre partículas

Em nosso modelo, consideramos duas partículas, designadas como $𝐴_{0}$ A0 e $𝐵_{0}$ B0, cada um descrito por sua função de onda. O sistema geral é então descrito pela superposição dessas funções de onda, levando a uma função de onda combinada que fornece um campo de amplitudes de probabilidade. A análise dessas superposições nos ajuda a entender como as partículas influenciam os estados quânticos umas das outras por meio de fenômenos como interferência e emaranhamento.

Transição para coordenadas esféricas

Na análise de sistemas quânticos, a escolha de um sistema de coordenadas apropriado pode simplificar significativamente o tratamento matemático, especialmente ao lidar com sistemas esfericamente simétricos, como átomos ou poços de potencial esféricos. Ao fazer a transição para coordenadas esféricas, podemos descrever com mais eficiência as dependências radiais e as propriedades do momento angular do sistema. Essa transformação de coordenadas é crucial quando a simetria natural do sistema físico se alinha com as coordenadas esféricas, o que geralmente ocorre em sistemas atômicos e moleculares.

Foco na energia cinética

Em nosso modelo, assumimos que a energia potencial $𝑉$ V seja nula, o que implica que estamos nos concentrando apenas no componente de energia cinética do sistema quântico. Essa simplificação é comum em tratamentos teóricos de partículas livres ou para ilustrar conceitos fundamentais da mecânica quântica sem os fatores complicadores das energias potenciais. O operador de energia cinética, denotado como $𝑇$ T, torna-se o principal condutor da dinâmica descrita pela função de onda.

Técnicas matemáticas avançadas

O uso de técnicas matemáticas avançadas, como o Laplaciano em coordenadas esféricas, torna-se indispensável em nossa análise. Essas técnicas nos permitem aprofundar os aspectos diferenciais da função de onda, fornecendo insights sobre como as mudanças na configuração espacial do sistema influenciam o comportamento das partículas. O operador Laplaciano, em particular, desempenha um papel fundamental na determinação de como a amplitude e a fase da função de onda evoluem no espaço, o que está diretamente relacionado às propriedades observáveis do sistema, como a distribuição de posições e momentos.

Em conclusão, esta introdução prepara o terreno para uma exploração detalhada da modelagem mecânica quântica das interações entre partículas. Ao examinar a superposição de funções de onda e a aplicação da equação de Schrödinger em um contexto desprovido de energia potencial, pretendemos descobrir a dinâmica diferenciada das partículas elementares em uma estrutura puramente cinética, enriquecendo assim nosso entendimento da mecânica quântica e seus princípios fundamentais.

Vamos detalhar os principais componentes e resumir a progressão matemática:

1. Representação da função de onda

Duas partículas, $A_0$ A0 e $B_0$ B0, são modelados por suas funções de onda:

$Psi(x, y, z, t) = A e^{-alpha({x, y, z} – A_0)} e^{iomega_1 t}. + B e^{-beta({x, y, z} – B_0)} e^{iomega_2 t}.$ Ψ(x,y,z,t)=Ae-α({x,y,z}-A0)eiω1t+Be-β({x,y,z}-B0)eiω2t.

Essa representação pressupõe:

Termos de amplitude ( $A, B$ A,B) e decaimento espacial ( $e^{-alpha r}, e^{-beta r}$ e-αr,e-βr).
Dependência de tempo oscilatório ( $e^{iomega t}$ eiωt) característica dos estados quânticos.

2. Mudança para coordenadas esféricas

A mudança para as coordenadas esféricas simplifica a análise das dependências radiais, especialmente ao estudar interações localizadas em torno de uma partícula (por exemplo, o $B_0$ B0):

$Psi(R, t) = A e^{-alpha(R_{A_0B_0} + r)} e^{iomega_1(t+d_1)} + B e^{-beta r} e^{iomega_2(t+d_2)}.$ Ψ(R,t)=Ae-α(RA0B0+r)eiω1(t+d1)+Be-βreiω2(t+d2).

Aqui:

$R_{A_0B_0}$ RA0B0: A distância fixa entre as partículas $A_0$ A0 e $B_0$ B0.
$r$ r: O pequeno desvio de $B_0$ B0.

3. Aplicação da equação de Schrödinger

Supondo que não haja energia potencial ( $V = 0$ V=0), o operador de energia cinética ( $T$ T) rege a evolução da função de onda:

$ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R, t) = -frac{hbar^2}{2m} nabla^2 Psi(R, t).$ iℏ∂t∂Ψ(R,t)=-2mℏ2∇2Ψ(R,t).

Concentrando-nos na contribuição de $A$ A, o termo espacial se simplifica para:

$Psi(R, t) sim A e^{-alpha R_{A_0B_0}} e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}}}.$ Ψ(R,t)∼Ae-αRA0B0e-αRA0B0r.

4. Laplaciano em coordenadas esféricas

Usando o operador Laplaciano para funções radialmente dependentes:

$nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{partial}{partial r} left( r^2 frac{partial}{partial r} f(r) right),$ ∇2f(r)=r21∂r∂(r2∂r∂f(r)),

calculamos:

$f(r) = e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}}}.$ f(r)=e-αRA0B0r.

Etapas:

Calcule $r^2 frac{parcial}{parcial r}$ r2∂r∂: $r^2 frac{partial}{partial r} left( e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}}} right) = r^2 left( -frac{alpha}{R_{A_0B_0}} e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}} right).$ r2∂r∂(e-αRA0B0r)=r2(-RA0B0αe-αRA0B0r).
Diferencie novamente: $nabla^2 f(r) aprox -frac{3alpha}{R_{A_0B_0}}.$ ∇2f(r)≈-RA0B03α.

5. Potencial de distância inversa emergente

O Laplaciano revela que a função de onda gera um termo proporcional a $frac{-1}{R_{A_0B_0}}$ RA0B0-1, o que implica em um potencial efetivo inversamente proporcional à distância entre as partículas. Isso sugere que os efeitos gravitacionais ou semelhantes à interação emergem naturalmente do formalismo da função de onda quântica.

Principais percepções físicas

Interações da função de onda: O princípio da superposição permite modelar as interações entre partículas, em que os padrões de interferência codificam informações sobre suas posições e dinâmicas relativas.
Dominância da energia cinética: A suposição de que não há energia potencial concentra a análise puramente na evolução espacial e temporal impulsionada por termos cinéticos.
Analogia gravitacional: O aparecimento de um termo de distância inversa no comportamento da função de onda sugere uma base quântica para interações semelhantes às gravitacionais, em que as propriedades da onda governam os efeitos de longo alcance.

Direções futuras

Incorporação de energia potencial: A adição de um potencial $V(r)$ V(r) poderia refinar o modelo, capturando forças ou campos externos que atuam sobre as partículas.
Correções relativísticas: Para uma estrutura quântica-gravitacional completa, pode ser necessário estender as equações de onda relativísticas (por exemplo, equações de Klein-Gordon ou Dirac).
Emaranhamento e não-localidade: O exame de como as funções de onda influenciam umas às outras pode explorar o emaranhamento ou os mecanismos de interação não local na gravidade.

Essa estrutura matemática fornece um trampolim para a compreensão das interações quânticas com uma interpretação gravitacional, possivelmente fazendo a ponte entre a mecânica quântica e a gravidade clássica.