Resolução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio

O átomo de hidrogênio é um sistema central na física quântica, frequentemente usado como modelo para entender a estrutura eletrônica dos átomos. A solução da equação de Schrödinger para esse átomo depende da simetria esférica do problema e do potencial de Coulomb entre o próton (núcleo) e o elétron.

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1. Equação de Schrödinger no potencial de Coulomb

A equação de Schrödinger para uma partícula de massa $m$m em um potencial central $V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$V(r)=-4πϵ0re2 é dado por:

$$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$$-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

Em coordenadas esféricas, devido à simetria radial, a função de onda $psi(r, theta, phi)$ψ(r,θ,ϕ) pode ser separado como:

$$psi(r, theta, phi) = R(r) Y_l^m(theta, phi)$$ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

em que:

• $R(r)$R(r) é a parte radial da função de onda, dependendo apenas da distância $r$r,
• $Y_l^m(theta, phi)$Ylm(θ,ϕ) são os harmônicos esféricos dependentes dos ângulos $theta$θ e $phi$ϕ,
• $l$l é o número quântico orbital, e $m$m seu subnível magnético.

A parte radial satisfaz uma equação diferencial independente:

$$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} left( r^2 frac{dR}{dr} right) + left[ frac{2m}{hbar^2} left( E – V(r) right) – frac{l(l+1)}{r^2} right] R(r) = 0$$r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

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2. Resolução da equação radial

Para resolver essa equação, introduzimos a variável sem dimensão $rho = frac{r}{a_0}$ρ=a0r, em que $a_0$a0 é o raio de Bohr:

$$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$$a0=me24πϵ0ℏ2

A solução para $R(r)$R(r) é uma combinação de funções exponenciais e polinômios de Laguerre associados:

$$R_{n,l}(r) = N_{n,l} , rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$$Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

em que:

• $n$n é o número quântico principal,
• $l$l é o número quântico orbital,
• $L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$Ln-l-12l+1(ρ) são polinômios de Laguerre associados,
• $N_{n,l}$Nn,l é uma constante de normalização.

Para o estado fundamental ($n = 1, l = 0$n=1,l=0), a solução simplifica para:

$$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$$R1,0​(r)=a03​​2​e−r/a0​

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3. Densidade radial e probabilidade

A densidade de probabilidade radial, que descreve a probabilidade de encontrar o elétron a uma distância $r$r, é dada por:

$$P(r) = |R(r)|^2 r^2$$P(r)=∣R(r)∣2r2

Para $n = 1, l = 0$n=1,l=0, essa densidade de probabilidade se torna

$$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$$P(r)=a03​4​e−2r/a0​r2

Isso mostra um decaimento exponencial modulado por um fator geométrico $r^2$r2. Essa combinação reflete a dualidade entre a localização radial do elétron e a simetria esférica.

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Do átomo de hidrogênio às ondas gerais: Uma decomposição universal

A solução para o átomo de hidrogênio é construída com base em uma combinação de exponenciais ($e^{-r}$e-r) e termos polinomiais. Essa estrutura é típica da modelagem de ondas ou campos. Uma ideia fundamental na física matemática é que todas as ondas ou campos podem ser decompostos em somas de exponenciais complexos, semelhantes à série de Fourier.

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4. Decomposição de ondas em exponenciais

A decomposição de uma função ou onda $f(r)$f(r) podem ser generalizadas como somas ou integrais da forma

$$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$$f(r)=∫A(k)e-krdk

em que:

• $A(k)$A(k) é uma amplitude dependente de $k$k,
• $e^{-kr}$e-kr representa um componente elementar.

Essa ideia é análoga à série de Fourier, em que as funções periódicas são expressas como somas de $e^{iomega t}$eiωt, mas aqui lidamos com funções não periódicas ou localizadas.

Na BeeTheory, esse princípio é generalizado para descrever qualquer onda ou campo usando termos da forma $A e^{-kr}$Ae-kr, abrangendo não apenas soluções quânticas como as do átomo de hidrogênio, mas também modelos de gravidade ou interações fundamentais.

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Teoria das abelhas e somas de $e^{-R}$e-R

Na BeeTheory, a ideia central é estender essa decomposição a todas as interações do tipo onda. Sabemos que:

1. As ondas eletromagnéticas (soluções das equações de Maxwell) se decompõem em harmônicos esféricos e exponenciais.
2. As soluções quânticas para os átomos já usam bases exponenciais como $e^{-r/a}$e-r/a.
3. Interações gravitacionais e potenciais como o de Yukawa (na física de partículas) são modelados com decaimentos exponenciais.

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5. A ligação universal: Qualquer onda como uma superposição

A BeeTheory propõe que qualquer interação do tipo onda (seja ela eletromagnética, gravitacional ou outra) pode ser modelada como uma soma de termos $A e^{-R}$Ae-R, onde $R$R generaliza a distância ou uma coordenada:

$$Phi(R) = sum_{i} A_i e^{-k_i R}$$Φ(R)=i∑Aie-kiR

Essa abordagem:

• Unifica as soluções clássicas (Maxwell, Schrödinger) e as modernas (potenciais filtrados como Yukawa),
• Fornece uma visão simplificada das interações fundamentais,
• Oferece uma estrutura para simular ou descrever fenômenos complexos.

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6. Extensão a todas as ondas

• Gravidade: Em estruturas quânticas, o potencial gravitacional pode ser visto como uma soma de $e^{-R}$e-R (um modelo de triagem gravitacional).
• Física quântica: Os estados quânticos, como os do átomo de hidrogênio, já demonstram essa base exponencial.
• Cosmologia: As flutuações no fundo cósmico de micro-ondas ou nas ondas gravitacionais podem ser expressas usando termos exponenciais.

Ao unificar os modelos de interação por meio de somas de $e^{-R}$e-R, a BeeTheory oferece uma estrutura geral para modelar todas as formas de ondas, seja em um contexto quântico, clássico ou cosmológico.

Se quiser se aprofundar nessa teoria ou explorar suas aplicações, a BeeTheory foi projetada para fornecer ferramentas de modelagem acessíveis e poderosas para unificar os fenômenos físicos sob uma estrutura comum baseada em ondas.