Rozwiązywanie równania Schrödingera dla atomu wodoru

Atom wodoru jest centralnym układem w fizyce kwantowej, często wykorzystywanym jako model do zrozumienia struktury elektronowej atomów. Rozwiązanie równania Schrödingera dla tego atomu opiera się na symetrii sferycznej problemu i potencjale Coulomba między protonem (jądrem) a elektronem.

1. Równanie Schrödingera w potencjale kulombowskim

Równanie Schrödingera dla cząstki o masie

$m$

m w potencjale centralnym

$V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$

V(r)=-4πϵ0re2 jest określone przez:

$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$

-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

We współrzędnych sferycznych, ze względu na symetrię radialną, funkcja falowa

$psi(r, theta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ) można rozdzielić jako:

$psi(r, theta, phi) = R(r) Y_l^m(theta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

gdzie:

$R(r)$
R(r) jest radialną częścią funkcji falowej, zależną tylko od odległości

$r$
r,
$Y_l^m(theta, phi)$
Ylm(θ,ϕ) to harmoniczne sferyczne zależne od kątów

$theta$
θ i

$phi$
ϕ,
$l$
l jest orbitalną liczbą kwantową, a

$m$
m to podpoziom magnetyczny.

Część radialna spełnia niezależne równanie różniczkowe:

$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} left( r^2 frac{dR}{dr} right) + left[ frac{2m}{hbar^2} left( E – V(r) right) – frac{l(l+1)}{r^2} right] R(r) = 0$

r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

2. Rozwiązywanie równania radialnego

Aby rozwiązać to równanie, wprowadzamy bezwymiarową zmienną

$rho = frac{r}{a_0}$

ρ=a0r, gdzie

$a_0$

a0 jest promieniem Bohra:

$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$

a0=me24πϵ0ℏ2

Rozwiązanie dla

$R(r)$

R(r) jest kombinacją funkcji wykładniczych i związanych z nimi wielomianów Laguerre’a:

$R_{n,l}(r) = N_{n,l} , rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$

Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

gdzie:

$n$
n jest główną liczbą kwantową,
$l$
l jest orbitalną liczbą kwantową,
$L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$
Ln-l-12l+1(ρ) są powiązanymi wielomianami Laguerre’a,
$N_{n,l}$
Nn,l jest stałą normalizacji.

Dla stanu podstawowego (

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0), rozwiązanie upraszcza się do:

$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$

R1,0(r)=a032e−r/a0

3. Gęstość promieniowa i prawdopodobieństwo

Promieniowa gęstość prawdopodobieństwa, która opisuje prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w odległości

$r$

r, jest określony przez:

$P(r) = |R(r)|^2 r^2$

P(r)=∣R(r)∣2r2

Dla

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0, ta gęstość prawdopodobieństwa staje się:

$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$

P(r)=a034e−2r/a0r2

Pokazuje to wykładniczy spadek modulowany przez współczynnik geometryczny

$r^2$

r2. Ta kombinacja odzwierciedla dwoistość między radialną lokalizacją elektronu a symetrią sferyczną.

Od atomu wodoru do fal ogólnych: Uniwersalny rozkład

Rozwiązanie dla atomu wodoru opiera się na kombinacji wykładników (

$e^{-r}$

e-r) i wyrazy wielomianowe. Struktura ta jest typowa dla modelowania fal lub pól. Kluczową ideą w fizyce matematycznej jest to, że wszystkie fale lub pola można rozłożyć na sumy wykładników zespolonych, podobnie jak szereg Fouriera.

4. Dekompozycja fali na wykładniki

Rozkład funkcji lub fali

$f(r)$

f(r) można uogólnić jako sumy lub całki postaci:

$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$

f(r)=∫A(k)e-krdk

gdzie:

$A(k)$
A(k) jest amplitudą zależną od

$k$
k,
$e^{-kr}$
e-kr reprezentuje elementarny składnik.

Idea ta jest analogiczna do szeregu Fouriera, gdzie funkcje okresowe są wyrażone jako sumy szeregów Fouriera.

$e^{iomega t}$

eiωt, ale tutaj zajmujemy się funkcjami nieokresowymi lub zlokalizowanymi.

W BeeTheory zasada ta jest uogólniona do opisu dowolnej fali lub pola za pomocą wyrażeń o postaci

$A e^{-kr}$

Ae-kr, obejmujący nie tylko rozwiązania kwantowe, takie jak te dla atomu wodoru, ale także modele grawitacji lub fundamentalnych interakcji.

Teoria pszczół i podsumowania

$e^{-R}$

e-R

Główną ideą BeeTheory jest rozszerzenie tego rozkładu na wszystkie oddziaływania falowe. Wiemy, że:

Fale elektromagnetyczne (rozwiązania równań Maxwella) rozkładają się na harmoniczne sferyczne i wykładnicze.
Rozwiązania kwantowe dla atomów wykorzystują już bazy wykładnicze, takie jak
$e^{-r/a}$
e-r/a.
Oddziaływania grawitacyjne i potencjały takie jak Yukawa (w fizyce cząstek elementarnych) są modelowane za pomocą wykładniczych zaników.

5. Uniwersalne połączenie: Każda fala jako superpozycja

BeeTheory proponuje, że każda interakcja falowa (elektromagnetyczna, grawitacyjna lub inna) może być modelowana jako suma terminów

$A e^{-R}$

Ae-R, gdzie

$R$

R uogólnia odległość lub współrzędną:

$Phi(R) = sum_{i} A_i e^{-k_i R}$

Φ(R)=i∑Aie-kiR

To podejście:

Ujednolica klasyczne rozwiązania (Maxwell, Schrödinger) i nowoczesne (ekranowane potencjały, takie jak Yukawa),
Zapewnia uproszczoną wizję podstawowych interakcji,
Oferuje ramy do symulacji lub opisu złożonych zjawisk.

6. Rozszerzenie na wszystkie fale

Grawitacja: W ramach kwantowych potencjał grawitacyjny może być postrzegany jako suma
$e^{-R}$
e-R (model ekranowania grawitacyjnego).
Fizyka kwantowa: Stany kwantowe, takie jak te w atomie wodoru, już wykazują tę wykładniczą podstawę.
Kosmologia: Fluktuacje w kosmicznym mikrofalowym tle lub fale grawitacyjne można wyrazić za pomocą wyrażeń wykładniczych.

Ujednolicając modele interakcji poprzez sumy e-Re^{-R}e-R, BeeTheory oferuje ogólne ramy do modelowania wszystkich form fal, zarówno w kontekście kwantowym, klasycznym, jak i kosmologicznym.

Jeśli chcą Państwo zagłębić się w tę teorię lub zbadać jej zastosowania, BeeTheory została zaprojektowana w celu zapewnienia przystępnych i wydajnych narzędzi do modelowania w celu ujednolicenia zjawisk fizycznych w ramach wspólnych ram opartych na falach.