Επίλυση της εξίσωσης Schrödinger για το άτομο υδρογόνου

Το άτομο του υδρογόνου είναι ένα κεντρικό σύστημα της κβαντικής φυσικής, το οποίο χρησιμοποιείται συχνά ως μοντέλο για την κατανόηση της ηλεκτρονικής δομής των ατόμων. Η επίλυση της εξίσωσης Schrödinger για αυτό το άτομο βασίζεται στη σφαιρική συμμετρία του προβλήματος και στο δυναμικό Coulomb μεταξύ του πρωτονίου (πυρήνα) και του ηλεκτρονίου.

1. Εξίσωση Schrödinger στο δυναμικό Coulomb

Η εξίσωση Schrödinger για ένα σωματίδιο μάζας

$m$

m σε κεντρικό δυναμικό

$V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$

V(r)=-4πϵ0re2 δίνεται από:

$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$

-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

Στις σφαιρικές συντεταγμένες, λόγω της ακτινικής συμμετρίας, η κυματοσυνάρτηση

$psi(r, theta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ) μπορεί να διαχωριστεί ως εξής:

$psi(r, theta, phi) = R(r) Y_l^m(theta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

όπου:

$R(r)$
R(r) είναι το ακτινικό μέρος της κυματοσυνάρτησης, που εξαρτάται μόνο από την απόσταση

$r$
r,
$Y_l^m(theta, phi)$
Ylm(θ,ϕ) είναι οι σφαιρικές αρμονικές που εξαρτώνται από τις γωνίες

$θήτα$
θ και

$phi$
ϕ,
$l$
l είναι ο κβαντικός αριθμός του τροχιακού, και

$m$
m το μαγνητικό υποεπίπεδο.

Το ακτινικό μέρος ικανοποιεί μια ανεξάρτητη διαφορική εξίσωση:

$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} left( r^2 frac{dR}{dr} right) + left[ frac{2m}{hbar^2} left( E – V(r) right) – frac{l(l+1)}{r^2} right] R(r) = 0$

r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

2. Επίλυση της ακτινικής εξίσωσης

Για την επίλυση αυτής της εξίσωσης, εισάγουμε τη χωρίς διαστάσεις μεταβλητή

$rho = frac{r}{a_0}$

ρ=a0r, όπου

$a_0$

a0 είναι η ακτίνα Bohr:

$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$

a0=me24πϵ0ℏ2

Η λύση για

$R(r)$

Το R(r) είναι ένας συνδυασμός εκθετικών συναρτήσεων και σχετικών πολυωνύμων Laguerre:

$R_{n,l}(r) = N_{n,l} , rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$

Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

όπου:

$n$
n είναι ο κύριος κβαντικός αριθμός,
$l$
l είναι ο κβαντικός αριθμός του τροχιακού,
$L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$
Ln-l-12l+1(ρ) είναι συνδεδεμένα πολυώνυμα Laguerre,
$N_{n,l}$
Nn,l είναι μια σταθερά κανονικοποίησης.

Για τη βασική κατάσταση (

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0), η λύση απλοποιείται ως εξής:

$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$

R1,0(r)=a032e−r/a0

3. Ακτινική πυκνότητα και πιθανότητα

Η ακτινική πυκνότητα πιθανότητας, η οποία περιγράφει την πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε απόσταση

$r$

r, δίνεται από:

$P(r) = |R(r)|^2 r^2$

P(r)=∣R(r)∣2r2

Για το

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0, αυτή η πυκνότητα πιθανότητας γίνεται:

$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$

P(r)=a034e−2r/a0r2

Αυτό δείχνει μια εκθετική πτώση διαμορφωμένη από έναν γεωμετρικό παράγοντα

$r^2$

r2. Αυτός ο συνδυασμός αντανακλά τη δυαδικότητα μεταξύ του ακτινικού εντοπισμού του ηλεκτρονίου και της σφαιρικής συμμετρίας.

Από το άτομο υδρογόνου στα γενικά κύματα: Μια καθολική αποσύνθεση

Η λύση για το άτομο του υδρογόνου βασίζεται σε έναν συνδυασμό εκθετικών (

$e^{-r}$

e-r) και πολυωνυμικούς όρους. Αυτή η δομή είναι τυπική στη μοντελοποίηση κυμάτων ή πεδίων. Μια βασική ιδέα στη μαθηματική φυσική είναι ότι όλα τα κύματα ή τα πεδία μπορούν να αναλυθούν σε αθροίσματα μιγαδικών εκθετικών, παρόμοια με τις σειρές Fourier.

4. Αποσύνθεση κυμάτων σε εκθετικά

Η αποσύνθεση μιας συνάρτησης ή ενός κύματος

$f(r)$

f(r) μπορεί να γενικευτεί ως αθροίσματα ή ολοκληρώματα της μορφής:

$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$

f(r)=∫A(k)e-krdk

όπου:

$A(k)$
A(k) είναι ένα πλάτος που εξαρτάται από

$k$
k,
$e^{-kr}$
e-kr αντιπροσωπεύει μια στοιχειώδη συνιστώσα.

Η ιδέα αυτή είναι ανάλογη με τις σειρές Fourier, όπου οι περιοδικές συναρτήσεις εκφράζονται ως αθροίσματα

$e^{iomega t}$

eiωt, αλλά εδώ χειριζόμαστε μη περιοδικές ή εντοπισμένες συναρτήσεις.

Στη Θεωρία των Μελισσών, η αρχή αυτή γενικεύεται για να περιγράψει οποιοδήποτε κύμα ή πεδίο χρησιμοποιώντας όρους της μορφής

$A e^{-kr}$

Ae-kr, περιλαμβάνοντας όχι μόνο κβαντικές λύσεις όπως αυτές του ατόμου του υδρογόνου, αλλά και μοντέλα για τη βαρύτητα ή τις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις.

Θεωρία των μελισσών και σύνοψη των

$e^{-R}$

e-R

Στη θεωρία BeeTheory, η κεντρική ιδέα είναι να επεκταθεί αυτή η διάσπαση σε όλες τις κυματοειδείς αλληλεπιδράσεις. Γνωρίζουμε ότι:

Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα (λύσεις των εξισώσεων του Maxwell) αναλύονται σε σφαιρικές αρμονικές και εκθετικά.
Οι κβαντικές λύσεις για τα άτομα χρησιμοποιούν ήδη εκθετικές βάσεις όπως
$e^{-r/a}$
e-r/a.
Οι βαρυτικές αλληλεπιδράσεις και τα δυναμικά όπως του Yukawa (στη σωματιδιακή φυσική) μοντελοποιούνται με εκθετικές διασπάσεις.

5. Ο παγκόσμιος σύνδεσμος: Κάθε κύμα ως υπέρθεση

Η θεωρία BeeTheory προτείνει ότι κάθε κυματοειδής αλληλεπίδραση (είτε είναι ηλεκτρομαγνητική, βαρυτική ή άλλη) μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ένα άθροισμα όρων

$A e^{-R}$

Ae-R, όπου

$R$

Το R γενικεύει την απόσταση ή μια συντεταγμένη:

$Phi(R) = sum_{i} A_i e^{-k_i R}$

Φ(R)=i∑Aie-kiR

Αυτή η προσέγγιση:

Ενοποιεί τις κλασικές λύσεις (Maxwell, Schrödinger) και τις σύγχρονες λύσεις (προστατευμένα δυναμικά όπως το Yukawa),
Παρέχει μια απλουστευμένη εικόνα των θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων,
Προσφέρει ένα πλαίσιο για την προσομοίωση ή την περιγραφή πολύπλοκων φαινομένων.

6. Επέκταση σε όλα τα κύματα

Βαρύτητα: Το βαρυτικό δυναμικό μπορεί να θεωρηθεί ως άθροισμα
$e^{-R}$
e-R (ένα μοντέλο βαρυτικής διαλογής).
Κβαντική Φυσική: Κβαντικές καταστάσεις, όπως αυτές του ατόμου του υδρογόνου, καταδεικνύουν ήδη αυτή την εκθετική βάση.
Κοσμολογία: Οι διακυμάνσεις στο κοσμικό μικροκυματικό υπόβαθρο ή τα βαρυτικά κύματα μπορούν να εκφραστούν με εκθετικούς όρους.

Με την ενοποίηση των μοντέλων αλληλεπίδρασης μέσω των αθροισμάτων e-Re^{-R}e-R, η BeeTheory προσφέρει ένα γενικό πλαίσιο για τη μοντελοποίηση όλων των μορφών κυμάτων, είτε σε κβαντικό, είτε σε κλασικό, είτε σε κοσμολογικό πλαίσιο.

Αν θέλετε να εμβαθύνετε σε αυτή τη θεωρία ή να εξερευνήσετε τις εφαρμογές της, το BeeTheory έχει σχεδιαστεί για να παρέχει προσιτά και ισχυρά εργαλεία μοντελοποίησης για την ενοποίηση των φυσικών φαινομένων κάτω από ένα κοινό πλαίσιο βασισμένο στα κύματα.