Løsning af Schrödinger-ligningen for brintatomet

Brintatomet er et centralt system i kvantefysikken, der ofte bruges som model til at forstå atomers elektroniske struktur. Løsningen af Schrödinger-ligningen for dette atom er afhængig af problemets sfæriske symmetri og Coulomb-potentialet mellem protonen (kernen) og elektronen.

---

1. Schrödingers ligning i Coulomb-potentialet

Schrödingers ligning for en partikel med masse

$m$

m i et centralt potentiale

$V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$

V(r)=-4πϵ0re2 er givet ved:

$$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$$

-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

I sfæriske koordinater, på grund af den radiale symmetri, er bølgefunktionen

$psi(r, theta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ) kan adskilles som:

$$psi(r, theta, phi) = R(r) Y_l^m(theta, phi)$$

ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

hvor:

• $R(r)$
  

  R(r) er den radiale del af bølgefunktionen, der kun afhænger af afstanden

  
  $r$
  

  r,

  
  
• $Y_l^m(theta, phi)$
  

  Ylm(θ,ϕ) er de sfæriske overtoner, der afhænger af vinkler

  
  $theta$
  

  θ og

  
  $phi$
  

  ϕ,

  
  
• $l$
  

  l er det orbitale kvantetal, og

  
  $m$
  

  m er det magnetiske underniveau.

  
  

Den radiale del opfylder en uafhængig differentialligning:

$$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} left( r^2 frac{dR}{dr} right) + left[ frac{2m}{hbar^2} left( E – V(r) right) – frac{l(l+1)}{r^2} right] R(r) = 0$$

r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

---

2. Løsning af den radiale ligning

For at løse denne ligning indfører vi den dimensionsløse variabel

$rho = frac{r}{a_0}$

ρ=a0r, hvor

$a_0$

a0 er Bohrs radius:

$$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$$

a0=me24πϵ0ℏ2

Løsningen for

$R(r)$

R(r) er en kombination af eksponentielle funktioner og tilhørende Laguerre-polynomier:

$$R_{n,l}(r) = N_{n,l} , rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$$

Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

hvor:

• $n$
  

  n er det primære kvantetal,

  
  
• $l$
  

  l er det orbitale kvantetal,

  
  
• $L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$
  

  Ln-l-12l+1(ρ) er tilknyttede Laguerre-polynomier,

  
  
• $N_{n,l}$
  

  Nn,l er en normaliseringskonstant.

  
  

For grundtilstanden (

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0), forenkles løsningen til:

$$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$$

R1,0​(r)=a03​​2​e−r/a0​

---

3. Radial tæthed og sandsynlighed

Den radiale sandsynlighedstæthed, som beskriver sandsynligheden for at finde elektronen i en afstand

$r$

r, er givet ved:

$$P(r) = |R(r)|^2 r^2$$

P(r)=∣R(r)∣2r2

For

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0, bliver denne sandsynlighedstæthed:

$$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$$

P(r)=a03​4​e−2r/a0​r2

Dette viser et eksponentielt henfald moduleret af en geometrisk faktor

$r^2$

r2. Denne kombination afspejler dualiteten mellem elektronens radiale lokalisering og sfærisk symmetri.

---

Fra brintatomet til generelle bølger: En universel nedbrydning

Løsningen for brintatomet bygger på en kombination af eksponentialer (

$e^{-r}$

e-r) og polynomiske udtryk. Denne struktur er typisk i bølge- eller feltmodellering. En nøgleidé i matematisk fysik er, at alle bølger eller felter kan nedbrydes til summer af komplekse eksponentialer, svarende til Fourier-serier.

---

4. Nedbrydning af bølger i eksponentialer

Nedbrydningen af en funktion eller bølge

$f(r)$

f(r) kan generaliseres som summer eller integraler af formen:

$$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$$

f(r)=∫A(k)e-krdk

hvor:

• $A(k)$
  

  A(k) er en amplitude, der afhænger af

  
  $k$
  

  k,

  
  
• $e^{-kr}$
  

  e-kr repræsenterer en elementær komponent.

  
  

Denne idé er analog med Fourier-rækker, hvor periodiske funktioner udtrykkes som summer af

$e^{iomega t}$

eiωt, men her håndterer vi ikke-periodiske eller lokaliserede funktioner.

I BeeTheory generaliseres dette princip til at beskrive enhver bølge eller felt ved hjælp af udtryk af formen

$A e^{-kr}$

Ae-kr, der ikke kun omfatter kvanteløsninger som dem for brintatomet, men også modeller for tyngdekraft eller grundlæggende interaktioner.

---

Biteori og sammenfatninger af

$e^{-R}$

e-R

I BeeTheory er den centrale idé at udvide denne nedbrydning til alle bølgelignende interaktioner. Det ved vi godt:

1. Elektromagnetiske bølger (løsninger af Maxwells ligninger) nedbrydes til sfæriske overtoner og eksponentialer.
2. Kvanteløsninger for atomer bruger allerede eksponentielle baser som
   $e^{-r/a}$
   

   e-r/a.

   
   
3. Tyngdekraftsinteraktioner og potentialer som Yukawas (i partikelfysikken) modelleres med eksponentielle henfald.

---

5. Det universelle link: Enhver bølge som en superposition

BeeTheory foreslår, at enhver bølgelignende interaktion (det være sig elektromagnetisk, gravitationel eller andet) kan modelleres som en sum af udtryk

$A e^{-R}$

Ae-R, hvor

$R$

R generaliserer afstand eller en koordinat:

$$Phi(R) = sum_{i} A_i e^{-k_i R}$$

Φ(R)=i∑Aie-kiR

Denne tilgang:

• Forener klassiske løsninger (Maxwell, Schrödinger) og moderne løsninger (afskærmede potentialer som Yukawa),
• Giver et forenklet billede af grundlæggende interaktioner,
• Tilbyder en ramme til at simulere eller beskrive komplekse fænomener.

---

6. Udvidelse til alle bølger

• Tyngdekraft: I kvantesammenhænge kan gravitationspotentialet ses som en sum af
  $e^{-R}$
  

  e-R-termer (en gravitationel screeningsmodel).

  
  
• Kvantefysik: Kvantetilstande, som dem i brintatomet, viser allerede dette eksponentielle grundlag.
• Kosmologi: Udsving i den kosmiske mikrobølgebaggrund eller gravitationsbølger kan udtrykkes ved hjælp af eksponentielle termer.

Ved at forene interaktionsmodeller gennem summer af e-Re^{-R}e-R tilbyder BeeTheory en generel ramme for modellering af alle former for bølger, uanset om det er i en kvante-, klassisk eller kosmologisk sammenhæng.

Hvis du gerne vil dykke dybere ned i denne teori eller udforske dens anvendelser, er BeeTheory designet til at give tilgængelige og kraftfulde modelleringsværktøjer til at forene fysiske fænomener under en fælles bølgebaseret ramme.