Решение уравнения Шредингера для атома водорода

Атом водорода — центральная система в квантовой физике, часто используемая в качестве модели для понимания электронной структуры атомов. Решение уравнения Шредингера для этого атома опирается на сферическую симметрию задачи и кулоновский потенциал между протоном (ядром) и электроном.

---

1. Уравнение Шредингера в кулоновском потенциале

Уравнение Шредингера для частицы с массой

$m$

м в центральном потенциале

$V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$

V(r)=-4πϵ0re2 определяется:

$$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$$

-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

В сферических координатах, благодаря радиальной симметрии, волновая функция

$psi(r, theta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ) можно разделить как:

$$psi(r, theta, phi) = R(r) Y_l^m(theta, phi)$$

ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

где:

• $R(r)$
  

  R(r) — это радиальная часть волновой функции, зависящая только от расстояния

  
  $r$
  

  r,

  
  
• $Y_l^m(theta, phi)$
  

  Ylm(θ,ϕ) — это сферические гармоники, зависящие от углов

  
  $тэта$
  

  θ и

  
  $phi$
  

  ϕ,

  
  
• $l$
  

  l — орбитальное квантовое число, и

  
  $m$
  

  m — магнитный подуровень.

  
  

Радиальная часть удовлетворяет независимому дифференциальному уравнению:

$$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} left( r^2 frac{dR}{dr} right) + left[ frac{2m}{hbar^2} left( E — V(r) right) — frac{l(l+1)}{r^2} right] R(r) = 0$$

r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

---

2. Решение радиального уравнения

Чтобы решить это уравнение, мы вводим безразмерную переменную

$rho = frac{r}{a_0}$

ρ=a0r, где

$a_0$

a0 — радиус Бора:

$$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$$

a0=me24πϵ0ℏ2

Решение для

$R(r)$

R(r) — это комбинация экспоненциальных функций и связанных с ними многочленов Лагерра:

$$R_{n,l}(r) = N_{n,l} , rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$$

Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

где:

• $n$
  

  n — главное квантовое число,

  
  
• $l$
  

  l — это орбитальное квантовое число,

  
  
• $L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$
  

  Ln-l-12l+1(ρ) — ассоциированные полиномы Лагерра,

  
  
• $N_{n,l}$
  

  Nn,l — это константа нормализации.

  
  

Для основного состояния (

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0), решение упрощается до:

$$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$$

R1,0​(r)=a03​​2​e−r/a0​

---

3. Радиальная плотность и вероятность

Радиальная плотность вероятности, которая описывает вероятность нахождения электрона на расстоянии

$r$

r, определяется:

$$P(r) = |R(r)|^2 r^2$$

P(r)=∣R(r)∣2r2

Для

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0, эта плотность вероятности становится:

$$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$$

P(r)=a03​4​e−2r/a0​r2

Это показывает экспоненциальный спад, модулированный геометрическим фактором

$r^2$

r2. Эта комбинация отражает дуализм между радиальной локализацией электрона и сферической симметрией.

---

От атома водорода до общих волн: Универсальное разложение

Решение для атома водорода построено на комбинации экспоненциалов (

$e^{-r}$

e-r) и полиномиальные члены. Такая структура типична для моделирования волн или полей. Ключевая идея математической физики заключается в том, что все волны или поля могут быть разложены в суммы комплексных экспоненциалов, аналогично рядам Фурье.

---

4. Разложение волны на экспоненциалы

Разложение функции или волны

$f(r)$

f(r) можно обобщить в виде сумм или интегралов:

$$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$$

f(r)=∫A(k)e-krdk

где:

• $A(k)$
  

  A(k) — это амплитуда, зависящая от

  
  $k$
  

  k,

  
  
• $e^{-kr}$
  

  e-kr представляет собой элементарный компонент.

  
  

Эта идея аналогична рядам Фурье, где периодические функции выражаются в виде сумм

$e^{iomega t}$

eiωt, но здесь мы работаем с непериодическими или локализованными функциями.

В Би-теории этот принцип обобщается для описания любой волны или поля с помощью терминов вида

$A e^{-kr}$

Ae-kr, охватывая не только квантовые решения, такие как решения атома водорода, но и модели гравитации или фундаментальных взаимодействий.

---

Теория пчел и суммирования

$e^{-R}$

e-R

В BeeTheory главная идея заключается в том, чтобы распространить это разложение на все волнообразные взаимодействия. Мы знаем, что:

1. Электромагнитные волны (решения уравнений Максвелла) разлагаются на сферические гармоники и экспоненты.
2. Квантовые решения для атомов уже используют экспоненциальные базисы, такие как
   $e^{-r/a}$
   

   e-r/a.

   
   
3. Гравитационные взаимодействия и потенциалы, подобные потенциалу Юкавы (в физике частиц), моделируются с помощью экспоненциальных распадов.

---

5. Универсальная связь: Любая волна как суперпозиция

BeeTheory предполагает, что любое волнообразное взаимодействие (будь то электромагнитное, гравитационное или иное) может быть смоделировано как сумма членов

$A e^{-R}$

Ae-R, где

$R$

R обобщает расстояние или координату:

$$Phi(R) = sum_{i} A_i e^{-k_i R}$$

Φ(R)=i∑Aie-kiR

Этот подход:

• Объединяет классические решения (Максвелл, Шредингер) и современные (экранированные потенциалы типа Юкавы),
• Обеспечивает упрощенное видение фундаментальных взаимодействий,
• Предлагает основу для моделирования или описания сложных явлений.

---

6. Распространение на все волны

• Гравитация: В квантовых рамках гравитационный потенциал можно рассматривать как сумму
  $e^{-R}$
  

  e-R членов (модель гравитационного экранирования).

  
  
• Квантовая физика: Квантовые состояния, такие как состояния в атоме водорода, уже демонстрируют эту экспоненциальную основу.
• Космология: Флуктуации в космическом микроволновом фоне или гравитационные волны можно выразить с помощью экспоненциальных выражений.

Унифицируя модели взаимодействия через суммы e-Re^{-R}e-R, BeeTheory предлагает общую основу для моделирования всех форм волн, будь то в квантовом, классическом или космологическом контексте.

Если Вы хотите глубже погрузиться в эту теорию или изучить ее применение, BeeTheory призвана предоставить доступные и мощные инструменты моделирования, чтобы объединить физические явления под общей волновой основой.