Résumé mathématique de BeeTheory : Modèle d'interaction gravitationnelle

Nous considérons deux particules élémentaires \( A_0 \) et \( B_0 \) modélisées par des fonctions d’onde que nous sommons :

\[ \Psi(x, y, z, t) = \Psi(A, t) + \Psi(B, t) \]

\[ \Psi(x, y, z, t) = A \cdot e^{-\alpha(\{x, y, z\} – A_0)} \cdot e^{i\omega_1 t} + B \cdot e^{-\beta(\{x, y, z\} – B_0)} \cdot e^{i\omega_2 t} \]

Nous changeons le cadre de référence pour les coordonnées sphériques :

\[ \Psi(R, t) = A \cdot e^{-\alpha(R_A-A_0)} \cdot e^{i\omega_1 t} + B \cdot e^{-\beta(R_B-B_0)} \cdot e^{i\omega_2 t} \]

Les positions des particules \( A_0 \) et \( B_0 \) sont considérées comme fixes à l’échelle de temps considérée. Nous nous concentrons autour de la deuxième particule \( B_0 \) :

\[ \Psi(R, t) = \Psi(R_B + r, t) \]

\[ R_A = R_{A0B0} + r, \quad R_B = r, \quad r \text{ est petit}. \]

\[ \Psi(R, t) = A \cdot e^{-\alpha(R_{A0B0} + r)} \cdot e^{i\omega_1(t+d_1)} + B \cdot e^{-\beta r} \cdot e^{i\omega_2(t+d_2)} \]

Nous appliquons l’équation de Schrödinger, en considérant qu’il n’y a que de l’énergie cinétique et pas d’énergie potentielle. \( V \) est nulle partout.

\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(R,t) = T + V = T \]

\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(R,t) = -2m\hbar^2 \nabla^2 \Psi(R, t) \]

En nous positionnant à \( B_0 \), nous simplifions en calculant seulement le premier terme lié à \( A \), le terme lié à \( B \) est nul à \( B_0 \); nous extrayons le terme en \( R_{A0B0} \) qui est une constante :

\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(R,t) = -2m\hbar^2 \nabla^2(A e^{-\alpha R_{A0B0}} \cdot e^{-\alpha \cdot r/R_{A0B0}}) \]

En utilisant le Laplacien en coordonnées sphériques pour une fonction qui dépend seulement de \( r \) :

\[ \nabla^2 f(r) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} (r^2 \frac{df}{dr}) \]

\[ \nabla^2 f(r) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} (r^2 \cdot \frac{d}{dr} e^{-\alpha \cdot r/R_{A0B0}}) \]

\[ r^2 \cdot \frac{d}{dr} \psi(r) = r^2 \cdot \frac{d}{dr} (e^{-\alpha r/R_{A0B0}}) = r^2 \cdot (-\alpha r/R_{A0B0}) \cdot e^{-\alpha r/R_{A0B0}} \]

\[ \nabla^2 f(r) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 \cdot -\alpha r/R_{A0B0} \cdot e^{-\alpha r/R_{A0B0}}) \]

\[ \nabla^2 f(r) = \frac{1}{r^2} \cdot -\alpha/R_{A0B0} \cdot \frac{d}{dr}(r^3 \cdot e^{-\alpha r/R_{A0B0}}) \]

En rappelant que \( R_{A0B0} \) est grand et \( r \) est très petit :

\[ \nabla^2 f(r) \approx -3\alpha/R_{A0B0} \]

Par conséquent, nous obtenons un potentiel proportionnel à l’inverse de la distance entre les particules

Dans le domaine de la mécanique quantique, la description des particules en tant que fonctions d’onde représente un changement fondamental par rapport à la physique classique, qui traite généralement les particules comme des entités discrètes avec des positions et des vitesses définies. Cette transition conceptuelle vers la dualité onde-particule permet une compréhension plus complète du comportement des particules subatomiques, telles que les électrons et les photons, notamment en termes d’interactions, de propagation et des effets de confinement sur leurs états quantiques. La mécanique quantique postule que chaque particule est associée à une fonction d’onde, qui fournit une description probabiliste de son état quantique en fonction de la position et du temps. La fonction d’onde, souvent notée Ψ (Psi), englobe toutes les informations sur l’état quantique d’une particule et est fondamentale pour prédire comment cet état évolue dans le temps selon l’équation de Schrödinger. Cette introduction se penche sur la modélisation mathématique des fonctions d’onde pour deux particules élémentaires, en explorant leur somme et leurs interactions à travers un cadre mathématique complet. Ces particules sont modélisées de manière à nous permettre d’examiner leur dynamique sous diverses transformations, telles que les changements de systèmes de coordonnées, et les interactions dans le cadre de la mécanique quantique non relativiste.

Représentation mathématique des fonctions d’onde

La forme standard d’une fonction d’onde pour une particule en mécanique quantique est à valeurs complexes, intégrant à la fois une amplitude et une phase. Cette fonction est une solution à l’équation de Schrödinger, qui décrit comment la fonction d’onde évolue dans l’espace et le temps. L’équation est linéaire, permettant la superposition des solutions, ce qui signifie que si deux fonctions d’onde sont des solutions, leur somme est également une solution. Ce principe sous-tend notre approche de la modélisation des interactions entre particules à l’aide de leurs fonctions d’onde respectives.

Modélisation des interactions de particules

Pour notre modèle, nous considérons deux particules, désignées comme 𝐴0 et 𝐵0 , chacune décrite par sa fonction d’onde. Le système global est alors décrit par la superposition de ces fonctions d’onde, conduisant à une fonction d’onde combinée qui fournit un champ d’amplitudes de probabilité. L’analyse de ces superpositions nous aide à comprendre comment les particules influencent les états quantiques des autres à travers des phénomènes tels que l’interférence et l’enchevêtrement.

Transition vers les coordonnées sphériques

Dans l’analyse des systèmes quantiques, choisir un système de coordonnées approprié peut considérablement simplifier le traitement mathématique, surtout lorsqu’il s’agit de systèmes symétriquement sphériques tels que les atomes ou les puits de potentiel sphériques. En passant aux coordonnées sphériques, nous pouvons décrire plus efficacement les dépendances radiales et les propriétés de moment angulaire du système. Cette transformation de coordonnées est cruciale lorsque la symétrie naturelle du système physique s’aligne avec les coordonnées sphériques, ce qui est souvent le cas dans les systèmes atomiques et moléculaires.

Concentration sur l’énergie cinétique

Dans notre modèle, nous supposons que l’énergie potentielle 𝑉 est nulle, ce qui implique que nous nous concentrons uniquement sur la composante énergétique cinétique du système quantique. Cette simplification est courante dans les traitements théoriques des particules libres ou pour illustrer les concepts fondamentaux de la mécanique quantique sans les facteurs compliquants des énergies potentielles. L’opérateur d’énergie cinétique, noté 𝑇 , devient alors le principal moteur de la dynamique décrite par la fonction d’onde.

Techniques mathématiques avancées

L’utilisation de techniques mathématiques avancées telles que le Laplacien en coordonnées sphériques devient indispensable dans notre analyse. Ces techniques nous permettent de plonger dans les aspects différentiels de la fonction d’onde, fournissant des aperçus de la manière dont les changements dans la configuration spatiale du système influencent le comportement des particules. L’opérateur Laplacien joue notamment un rôle clé dans la détermination de l’évolution de l’amplitude et de la phase de la fonction d’onde dans l’espace, ce qui est directement lié aux propriétés observables du système telles que la distribution des positions et des quantités de mouvement. En conclusion, cette introduction prépare le terrain pour une exploration détaillée de la modélisation mécanique quantique des interactions des particules. En examinant la superposition des fonctions d’onde et l’application de l’équation de Schrödinger dans un contexte dépourvu d’énergie potentielle, nous visons à découvrir la dynamique nuancée des particules élémentaires dans un cadre purement cinétique, enrichissant ainsi notre compréhension de la mécanique quantique et de ses principes fondateurs.