حل معادلة شرودنجر لذرة الهيدروجين

تُعد ذرة الهيدروجين نظامًا مركزيًّا في فيزياء الكم، وغالبًا ما تُستخدم كنموذج لفهم البنية الإلكترونية للذرات. ويعتمد حل معادلة شرودنجر لهذه الذرة على التماثل الكروي للمشكلة وجهد كولوم بين البروتون (النواة) والإلكترون.

1. معادلة شرودنجر في إمكانات كولوم

معادلة شرودنجر لجسيم كتلته $m$ م في جهد مركزي $V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$ يُعطى V(r)= -4ππο0re2 بالعلاقة

$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$ -2م2م2 ψ2 ψ+V(r)ψ=Eψ

في الإحداثيات الكروية، بسبب التماثل الشعاعي، فإن الدالة الموجية $ص(ص، ثيتا، فاي)$ ψ(r,θ,ϕ) يمكن فصلها على النحو التالي:

$psi(r، ثيتا، فاي) = R(r) Y_l^m(ثيتا، فاي)$ ψ(r، θ، ϕ)= R(r)Ylm(θ، ϕ)

حيث:

$R(r)$ R(r) هو الجزء الشعاعي من الدالة الموجية، ويعتمد فقط على المسافة $r$ r,
$Y_l^m(ثيتا، فاي)$ Ylm(θ، ϕ) هي التوافقيات الكروية المعتمدة على الزوايا $ثيتا$ θ و $فاي$ ϕ,
$l$ ل هو عدد الكم المداري، و $m$ م مستواه المغناطيسي الفرعي.

يحقق الجزء الشعاعي معادلة تفاضلية مستقلة:

$frac{1}{r^2} frac{d}{d}{dr} يسار( r^2 frac{dr}{dr} يمين) + يسار[ frac{2m}{hbar^2} يسار( E – V(r) يمين) – frac{l(l+1)}{r^2} يمين] R(r) = 0$ r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r)-r2l(l+1)}R(r)= 0

2. حل المعادلة الشعاعية

لحل هذه المعادلة، نقدم المتغير الذي لا أبعاد له $رهو = frac{r}{a_0}$ ρ=a0r، حيث $a_0$ a0 هو نصف قطر بوهر:

$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$ a0=me24π24ϵ0ℏ2

الحل لـ $ر(ص)$ R(r) هو مزيج من الدوال الأسية وكثيرة حدود لاغير المرتبطة بها:

$R_{n،l}(r) = N_{n،l} rho^l e^^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$ Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/ln-l-12l+1(ρ)

حيث

$n$ n هو عدد الكم الرئيسي,
$l$ l هو عدد الكم المداري,
$L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$ Ln-l-12l+1(ρ) هي كثيرات حدود لاغير المرتبطة بها,
$N_n{n,l}$ Nn,l هو ثابت تطبيع.

بالنسبة إلى الحالة الأرضية ( $n = 1، l = 0$ n=1، l=0)، يمكن تبسيط الحل إلى

$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$ R1,0(r)=a032e−r/a0

3. الكثافة الشعاعية والاحتمالية

كثافة الاحتمال الشعاعي، الذي يصف احتمال العثور على الإلكترون على مسافة $r$ r، تُعطى بالعلاقة

$P(r) = |R(r)|^2 r^2$ P(r)= 人R(r)±R(r)≈2 r2

بالنسبة إلى $n = 1، l = 0$ n=1، l=0، تصبح كثافة الاحتمال هذه

$ص(ص) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} ص^2$ P(r)=a034e−2r/a0r2

يُظهر هذا تضاؤلًا أسيًا معدَّلًا بعامل هندسي $r^2$ r2. ويعكس هذا التركيب الازدواجية بين التوطين الشعاعي للإلكترون والتناظر الكروي.

من ذرة الهيدروجين إلى الموجات العامة: التحلل العام

الحل الخاص بذرة الهيدروجين مبني على مجموعة من الأُسِّيَّات ( $e^{-r}$ هـ-ص) وحدود كثيرة الحدود. هذه البنية نموذجية في نمذجة الموجات أو المجالات. الفكرة الرئيسية في الفيزياء الرياضية هي أن جميع الموجات أو المجالات يمكن تحليلها إلى مجاميع من الأُسِّيات المركبة، على غرار متسلسلة فورييه.

4. تحلل الموجة إلى دوال أسية معقدة

إن تحلل الدالة أو الموجة $و(ص)$ يمكن تعميم f(r) على صورة مجاميع أو تكاملات على الصورة

$f(r) = int A(k) e^{-kr}، dk$ و(ص)= ∫ A(k)e-krdk

حيث:

$أ(ك)$ A(k) هي سعة تعتمد على $k$ k,
$ه^{-ك-ر}$ هـ-ك-ر تمثل مركبة أولية.

تُماثل هذه الفكرة متسلسلة فورييه، حيث يُعبَّر عن الدوال الدورية على صورة مجموع $e^{iomega t}$ eiωt، ولكننا هنا نتعامل مع الدوال غير الدورية أو المحلية.

في نظرية النحل، يتم تعميم هذا المبدأ لوصف أي موجة أو مجال باستخدام حدود على الصورة $A e^{-kr}$ Ae-kr، لا تشمل فقط الحلول الكمية مثل تلك الخاصة بذرة الهيدروجين ولكن أيضًا نماذج الجاذبية أو التفاعلات الأساسية.

نظرية النحلة ومجموعات $ه^{ر}$ هـ-ر

في نظرية النحلة، الفكرة الأساسية هي توسيع نطاق هذا التفكيك ليشمل جميع التفاعلات الشبيهة بالموجات. نحن نعلم أن

تتحلل الموجات الكهرومغناطيسية (حلول معادلات ماكسويل) إلى توافقيات كروية وأسية.
تستخدم الحلول الكمية للذرات بالفعل قواعد أسية مثل $ه^^{ر/أ}$ e-r/a.
يتم تمثيل تفاعلات الجاذبية والإمكانات مثل تفاعلات يوكاوا (في في فيزياء الجسيمات) بالتضاؤل الأسي.

5. الرابط الكوني: أي موجة كتراكب

تقترح نظرية النحلة أن أي تفاعل شبيه بالموجة (سواء أكان تفاعلاً كهرومغناطيسيًّا أو جاذبية أو غير ذلك) يمكن تمثيله كمجموع حدود $A e^{-R}$ Ae-R، حيث $R$ R يعمم المسافة أو الإحداثي

$Phi(R) = مجموع_{i} A_i e^{-k_i R}$ ΦΦ(R)= ∑ ∑Aie-kiR

هذا النهج:

يوحّد الحلول الكلاسيكية (ماكسويل، شرودنجر) والحلول الحديثة (الإمكانات المحجوبة مثل يوكاوا),
يوفر رؤية مبسطة للتفاعلات الأساسية,
يوفر إطار عمل لمحاكاة أو وصف الظواهر المعقدة.

6. التمدد إلى جميع الموجات

الجاذبية: في الأطر الكمية، يمكن النظر إلى إمكانات الجاذبية على أنها مجموع $ه^{ر}$ هـ – ر (نموذج فرز الجاذبية).
فيزياء الكم: تُظهر الحالات الكمية، مثل تلك الموجودة في ذرة الهيدروجين، هذا الأساس الأسي بالفعل.
علم الكونيات: يمكن التعبير عن التقلبات في الخلفية الميكروية الكونية أو موجات الجاذبية باستخدام الحدود الأسية.

من خلال توحيد نماذج التفاعل من خلال مجاميع $e^{-R}$ هـ – ر، تقدم BeeTheory إطارًا عامًا لنمذجة جميع أشكال الموجات، سواء في سياق كمي أو كلاسيكي أو كوني.

إذا كنت ترغب في التعمق أكثر في هذه النظرية أو استكشاف تطبيقاتها، فإن BeeTheory مصممة لتوفير أدوات نمذجة قوية وسهلة المنال لتوحيد الظواهر الفيزيائية في إطار عمل مشترك قائم على الموجات.