Løsning af Schrödinger-ligningen for brintatomet

Brintatomet er et centralt system i kvantefysikken, der ofte bruges som model til at forstå atomers elektroniske struktur. Løsningen af Schrödinger-ligningen for dette atom er afhængig af problemets sfæriske symmetri og Coulomb-potentialet mellem protonen (kernen) og elektronen.

1. Schrödingers ligning i Coulomb-potentialet

Schrödingers ligning for en partikel med masse

$m$

m i et centralt potentiale

$V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$

V(r)=-4πϵ0re2 er givet ved:

$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$

-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

I sfæriske koordinater, på grund af den radiale symmetri, er bølgefunktionen

$psi(r, theta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ) kan adskilles som:

$psi(r, theta, phi) = R(r) Y_l^m(theta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

hvor:

$R(r)$
R(r) er den radiale del af bølgefunktionen, der kun afhænger af afstanden

$r$
r,
$Y_l^m(theta, phi)$
Ylm(θ,ϕ) er de sfæriske overtoner, der afhænger af vinkler

$theta$
θ og

$phi$
ϕ,
$l$
l er det orbitale kvantetal, og

$m$
m er det magnetiske underniveau.

Den radiale del opfylder en uafhængig differentialligning:

$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} left( r^2 frac{dR}{dr} right) + left[ frac{2m}{hbar^2} left( E – V(r) right) – frac{l(l+1)}{r^2} right] R(r) = 0$

r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

2. Løsning af den radiale ligning

For at løse denne ligning indfører vi den dimensionsløse variabel

$rho = frac{r}{a_0}$

ρ=a0r, hvor

$a_0$

a0 er Bohrs radius:

$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$

a0=me24πϵ0ℏ2

Løsningen for

$R(r)$

R(r) er en kombination af eksponentielle funktioner og tilhørende Laguerre-polynomier:

$R_{n,l}(r) = N_{n,l} , rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$

Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

hvor:

$n$
n er det primære kvantetal,
$l$
l er det orbitale kvantetal,
$L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$
Ln-l-12l+1(ρ) er tilknyttede Laguerre-polynomier,
$N_{n,l}$
Nn,l er en normaliseringskonstant.

For grundtilstanden (

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0), forenkles løsningen til:

$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$

R1,0(r)=a032e−r/a0

3. Radial tæthed og sandsynlighed

Den radiale sandsynlighedstæthed, som beskriver sandsynligheden for at finde elektronen i en afstand

$r$

r, er givet ved:

$P(r) = |R(r)|^2 r^2$

P(r)=∣R(r)∣2r2

For

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0, bliver denne sandsynlighedstæthed:

$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$

P(r)=a034e−2r/a0r2

Dette viser et eksponentielt henfald moduleret af en geometrisk faktor

$r^2$

r2. Denne kombination afspejler dualiteten mellem elektronens radiale lokalisering og sfærisk symmetri.

Fra brintatomet til generelle bølger: En universel nedbrydning

Løsningen for brintatomet bygger på en kombination af eksponentialer (

$e^{-r}$

e-r) og polynomiske udtryk. Denne struktur er typisk i bølge- eller feltmodellering. En nøgleidé i matematisk fysik er, at alle bølger eller felter kan nedbrydes til summer af komplekse eksponentialer, svarende til Fourier-serier.

4. Nedbrydning af bølger i eksponentialer

Nedbrydningen af en funktion eller bølge

$f(r)$

f(r) kan generaliseres som summer eller integraler af formen:

$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$

f(r)=∫A(k)e-krdk

hvor:

$A(k)$
A(k) er en amplitude, der afhænger af

$k$
k,
$e^{-kr}$
e-kr repræsenterer en elementær komponent.

Denne idé er analog med Fourier-rækker, hvor periodiske funktioner udtrykkes som summer af

$e^{iomega t}$

eiωt, men her håndterer vi ikke-periodiske eller lokaliserede funktioner.

I BeeTheory generaliseres dette princip til at beskrive enhver bølge eller felt ved hjælp af udtryk af formen

$A e^{-kr}$

Ae-kr, der ikke kun omfatter kvanteløsninger som dem for brintatomet, men også modeller for tyngdekraft eller grundlæggende interaktioner.

Biteori og sammenfatninger af

$e^{-R}$

e-R

I BeeTheory er den centrale idé at udvide denne nedbrydning til alle bølgelignende interaktioner. Det ved vi godt:

Elektromagnetiske bølger (løsninger af Maxwells ligninger) nedbrydes til sfæriske overtoner og eksponentialer.
Kvanteløsninger for atomer bruger allerede eksponentielle baser som
$e^{-r/a}$
e-r/a.
Tyngdekraftsinteraktioner og potentialer som Yukawas (i partikelfysikken) modelleres med eksponentielle henfald.

5. Det universelle link: Enhver bølge som en superposition

BeeTheory foreslår, at enhver bølgelignende interaktion (det være sig elektromagnetisk, gravitationel eller andet) kan modelleres som en sum af udtryk

$A e^{-R}$

Ae-R, hvor

$R$

R generaliserer afstand eller en koordinat:

$Phi(R) = sum_{i} A_i e^{-k_i R}$

Φ(R)=i∑Aie-kiR

Denne tilgang:

Forener klassiske løsninger (Maxwell, Schrödinger) og moderne løsninger (afskærmede potentialer som Yukawa),
Giver et forenklet billede af grundlæggende interaktioner,
Tilbyder en ramme til at simulere eller beskrive komplekse fænomener.

6. Udvidelse til alle bølger

Tyngdekraft: I kvantesammenhænge kan gravitationspotentialet ses som en sum af
$e^{-R}$
e-R-termer (en gravitationel screeningsmodel).
Kvantefysik: Kvantetilstande, som dem i brintatomet, viser allerede dette eksponentielle grundlag.
Kosmologi: Udsving i den kosmiske mikrobølgebaggrund eller gravitationsbølger kan udtrykkes ved hjælp af eksponentielle termer.

Ved at forene interaktionsmodeller gennem summer af e-Re^{-R}e-R tilbyder BeeTheory en generel ramme for modellering af alle former for bølger, uanset om det er i en kvante-, klassisk eller kosmologisk sammenhæng.

Hvis du gerne vil dykke dybere ned i denne teori eller udforske dens anvendelser, er BeeTheory designet til at give tilgængelige og kraftfulde modelleringsværktøjer til at forene fysiske fænomener under en fælles bølgebaseret ramme.