Bi-teori: Udforskning af et nyt perspektiv på tyngdekraften

Bee-Theory-projektet undersøger en ny teori om tyngdekraft, der foreslår, at tyngdekræfter opstår som følge af summen af to partiklers bølgefunktioner. Dette koncept antyder, at summen af to radiale exp(-x)-termer fra Schrödinger-ligningen genererer en tiltrækkende kraft med et potentiale, der er proportionalt med

$1/D$

1/D og en kraft, der er proportional med

$1/D^2$

1/D2.

Vigtige milepæle

• 2015: Projektets begyndelse.
• 2016: Formalisering af de første idéer.
• 2023: Matematisk teori udviklet ved hjælp af sfæriske koordinater og Laplacian for to partikler, i samarbejde med ChatGPT.

Muligheder for samarbejde

Bee-Theory søger avancerede bedømmere og samarbejdspartnere til at evaluere og forfine sin teoretiske ramme.

Ressourcer

• Engelsk resumé og første matematiske gennemgang:
  20231226_BeeTheory_v2_EN
• Resumé på fransk / Første matematiske formalisering:
  20231226_BeeTheory_v2
• Grundlæggende præsentation:
  Bi-teori_v3-6

For flere detaljer, besøg den officielle hjemmeside

Kontakt os for at bidrage med din ekspertise og hjælpe med at fremme dette banebrydende projekt.

Vi betragter to elementarpartikler ( A_0 ) og ( B_0 ), der er modelleret af bølgefunktioner, som vi summerer:

[
Psi(x, y, z, t) = Psi(A, t) + Psi(B, t)
]

[
Psi(x, y, z, t) = A cdot e^{-alpha({x, y, z} – A_0)} cdot e^{iomega_1 t} + B cdot e^{-beta({x, y, z} – B_0)} cdot e^{iomega_2 t}
]

Vi ændrer referencerammen til sfæriske koordinater:

[
Psi(R, t) = A cdot e^{-alpha(R_A-A_0)} cdot e^{iomega_1 t} + B cdot e^{-beta(R_B-B_0)} cdot e^{iomega_2 t}
]

Positionerne for partiklerne ( A_0 ) og ( B_0 ) anses for at være faste på den betragtede tidsskala. Vi fokuserer på den anden partikel ( B_0 ):

[
Psi(R, t) = Psi(R_B + r, t)
]

[
R_A = R_{A0B0} + r, quad R_B = r, quad r text{ er lille}.
]

[
Psi(R, t) = A cdot e^{-alpha(R_{A0B0} + r)} cdot e^{iomega_1(t+d_1)} + B cdot e^{-beta r} cdot e^{iomega_2(t+d_2)}
]

Vi anvender Schrödingers ligning, idet vi antager, at der kun er kinetisk energi og ingen potentiel energi. ( V ) er nul overalt.

[
ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R,t) = T + V = T
]

[
ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R,t) = -2mhbar^2 nabla^2 Psi(R, t)
]

Når vi placerer os ved ( B_0 ), forenkler vi ved kun at beregne det første udtryk relateret til ( A ), udtrykket relateret til ( B ) er nul ved ( B_0 ); vi udtrækker udtrykket i ( R_{A0B0} ), som er en konstant:

[
ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R,t) = -2mhbar^2 nabla^2(A e^{-alpha R_{A0B0}} cdot e^{-alpha cdot r/R_{A0B0}})
]

Brug af Laplacianen i sfæriske koordinater for en funktion, der kun afhænger af ( r ):

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr} (r^2 frac{df}{dr}))
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr} (r^2 cdot frac{d}{dr} e^{-alpha cdot r/R_{A0B0}})
]

[
r^2 cdot frac{d}{dr} psi(r) = r^2 cdot frac{d}{dr} (e^{-alpha r/R_{A0B0}}) = r^2 cdot (-alpha r/R_{A0B0}) cdot e^{-alpha r/R_{A0B0}}] [{1{^2} frac{d}{dr} (r^2 cdot frac{d}{dr})
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr}(r^2 cdot -alpha r/R_{A0B0} cdot e^{-alpha r/R_{A0B0}})
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} cdot -alpha/R_{A0B0} cdot frac{d}{dr}(r^3 cdot e^{-alpha r/R_{A0B0}})
]

Husk på, at ( R_{A0B0} ) er stor, og ( r ) er meget lille:

[
nabla^2 f(r) ca. -3alpha/R_{A0B0}
]

Derfor får vi et potentiale, der er proportionalt med den inverse af afstanden mellem partiklerne.

Inden for kvantemekanikken repræsenterer beskrivelsen af partikler som bølgefunktioner et fundamentalt skift fra klassisk fysik, som typisk behandler partikler som diskrete enheder med bestemte positioner og hastigheder. Denne konceptuelle overgang til bølge-partikel-dualitet giver mulighed for en mere omfattende forståelse af subatomare partiklers adfærd, såsom elektroner og fotoner, især med hensyn til deres interaktioner, udbredelse og effekterne af indeslutning på deres kvantetilstande.

Kvantemekanikken forudsætter, at hver partikel er forbundet med en bølgefunktion, som giver en sandsynlighedsbeskrivelse af dens kvantetilstand som en funktion af position og tid. Bølgefunktionen, der ofte betegnes som Ψ (Psi), indkapsler alle oplysninger om en partikels kvantetilstand og er grundlæggende for at forudsige, hvordan denne tilstand udvikler sig over tid i henhold til Schrödinger-ligningen.

Denne introduktion dykker ned i den matematiske modellering af bølgefunktioner for to elementarpartikler og udforsker deres sum og interaktioner gennem en omfattende matematisk ramme. Disse partikler er modelleret på en måde, der gør det muligt at undersøge deres dynamik under forskellige transformationer, såsom ændringer i koordinatsystemet, og interaktioner inden for rammerne af ikke-relativistisk kvantemekanik.

Matematisk repræsentation af bølgefunktioner

Standardformen for en bølgefunktion for en partikel i kvantemekanikken er kompleks og indeholder både en amplitude og en fase. Denne funktion er en løsning på Schrödinger-ligningen, som beskriver, hvordan bølgefunktionen udvikler sig i rum og tid. Ligningen er lineær og giver mulighed for superposition af løsninger, hvilket betyder, at hvis to bølgefunktioner er løsninger, er deres sum også en løsning. Dette princip ligger til grund for vores tilgang til modellering af interaktioner mellem partikler ved hjælp af deres respektive bølgefunktioner.

Modellering af partikelinteraktioner

I vores model betragter vi to partikler, der betegnes som

${𝐴}_0$

A0 og

${𝐵}_0$

B0, der hver især beskrives af deres bølgefunktion. Det samlede system beskrives derefter af superpositionen af disse bølgefunktioner, hvilket fører til en kombineret bølgefunktion, der giver et felt af sandsynlighedsamplituder. Analyse af disse superpositioner hjælper os med at forstå, hvordan partikler påvirker hinandens kvantetilstande gennem fænomener som interferens og sammenfiltring.

Overgang til sfæriske koordinater

I analysen af kvantesystemer kan valget af et passende koordinatsystem forenkle den matematiske behandling betydeligt, især når man har at gøre med sfærisk symmetriske systemer som atomer eller sfæriske potentialebrønde. Ved at gå over til sfæriske koordinater kan vi mere effektivt beskrive systemets radiale afhængighed og vinkelmomentegenskaber. Denne koordinattransformation er afgørende, når det fysiske systems naturlige symmetri stemmer overens med sfæriske koordinater, hvilket ofte er tilfældet i atomare og molekylære systemer.

Fokus på kinetisk energi

I vores model antager vi, at den potentielle energi

$𝑉$

V er nul, hvilket betyder, at vi udelukkende fokuserer på den kinetiske energikomponent i kvantesystemet. Denne forenkling er almindelig i teoretiske behandlinger af frie partikler eller for at illustrere grundlæggende kvantemekaniske koncepter uden de komplicerende faktorer i potentielle energier. Den kinetiske energioperator, der betegnes som

$𝑇$

T, bliver så den primære drivkraft for den dynamik, der beskrives af bølgefunktionen.

Avancerede matematiske teknikker

Brugen af avancerede matematiske teknikker som Laplacian i sfæriske koordinater bliver uundværlig i vores analyse. Disse teknikker giver os mulighed for at dykke ned i de differentielle aspekter af bølgefunktionen og give indsigt i, hvordan ændringer i systemets rumlige konfiguration påvirker partiklernes opførsel. Især Laplacian-operatoren spiller en nøglerolle i bestemmelsen af, hvordan bølgefunktionens amplitude og fase udvikler sig i rummet, hvilket er direkte relateret til systemets observerbare egenskaber såsom fordelingen af positioner og momenter.

Afslutningsvis lægger denne introduktion op til en detaljeret udforskning af den kvantemekaniske modellering af partikelinteraktioner. Ved at undersøge superpositionen af bølgefunktioner og anvendelsen af Schrödinger-ligningen i en kontekst uden potentiel energi sigter vi mod at afdække elementarpartiklernes nuancerede dynamik i en rent kinetisk ramme og dermed berige vores forståelse af kvantemekanikken og dens grundlæggende principper.

Lad os nedbryde nøglekomponenterne og opsummere den matematiske progression:

1. Repræsentation af bølgefunktion

To partikler,

$A_0$

A0 og

$B_0$

B0, er modelleret af deres bølgefunktioner:

$$Psi(x, y, z, t) = A e^{-alpha({x, y, z} – A_0)} e^{iomega_1 t}. + B e^{-beta({x, y, z} – B_0)} e^{iomega_2 t}.$$

Ψ(x,y,z,t)=Ae-α({x,y,z}-A0)eiω1t+Be-β({x,y,z}-B0)eiω2t.

Denne repræsentation forudsætter:

• Amplitudebetingelser (
  $A, B$A,B) og rumligt henfald (

  $e^{-alpha r}, e^{-beta r}$e-αr,e-βr).

• Oscillerende tidsafhængighed (
  $e^{iomega t}$eiωt), der er karakteristisk for kvantetilstande.

2. Skift til sfæriske koordinater

At skifte til sfæriske koordinater forenkler analysen af radiale afhængigheder, især når man studerer lokaliserede interaktioner omkring en partikel (f.eks,

$B_0$

B0):

$$Psi(R, t) = A e^{-alpha(R_{A_0B_0} + r)} e^{iomega_1(t+d_1)} + B e^{-beta r} e^{iomega_2(t+d_2)}.$$

Ψ(R,t)=Ae-α(RA0B0+r)eiω1(t+d1)+Be-βreiω2(t+d2).

Det er her:

• $R_{A_0B_0}$RA0B0: Den faste afstand mellem partiklerne

  $A_0$A0 og

  $B_0$B0.

• $r$r: Den lille afvigelse fra

  $B_0$B0.

3. Anvendelse af Schrödinger-ligningen

Hvis man antager, at der ikke er nogen potentiel energi (

$V = 0$

V=0), den kinetiske energioperator (

$T$

T) styrer udviklingen af bølgefunktionen:

$$ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R, t) = -frac{hbar^2}{2m} nabla^2 Psi(R, t).$$

iℏ∂t∂Ψ(R,t)=-2mℏ2∇2Ψ(R,t).

Med fokus på bidraget fra

$A$

A, forenkles det rumlige udtryk til:

$$Psi(R, t) sim A e^{-alpha R_{A_0B_0}} e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}}.$$

Ψ(R,t)∼Ae-αRA0B0e-αRA0B0r.

4. Laplacianen i sfæriske koordinater

Brug af Laplacian-operatoren til radialt afhængige funktioner:

$$nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{partial}{partial r} left( r^2 frac{partial}{partial r} f(r) right),$$

∇2f(r)=r21∂r∂(r2∂r∂f(r)),

beregner vi:

$$f(r) = e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}}}.$$

f(r)=e-αRA0B0r.

Trin:

1. Beregn
   $r^2 frac{partial}{partial r}$r2∂r∂:

   $$r^2 frac{partial}{partial r} left( e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}}} right) = r^2 left( -frac{alpha}{R_{A_0B_0}} e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}}} right).$$r2∂r∂(e-αRA0B0r)=r2(-RA0B0αe-αRA0B0r).

2. Differentier igen:
   $$nabla^2 f(r) approx -frac{3alpha}{R_{A_0B_0}}.$$∇2f(r)≈-RA0B03α.

5. Fremvoksende omvendt afstandspotentiale

Laplacianen afslører, at bølgefunktionen genererer et udtryk, der er proportionalt med

$frac{-1}{R_{A_0B_0}}$

RA0B0-1, hvilket indebærer et effektivt potentiale, der er omvendt proportionalt med afstanden mellem partiklerne. Det tyder på, at gravitations- eller interaktionslignende effekter kommer naturligt ud af kvantebølgefunktionsformalismen.

Vigtige fysiske indsigter

1. Bølgefunktionsinteraktioner: Superpositionsprincippet gør det muligt at modellere partikelinteraktioner, hvor interferensmønstre koder for information om deres relative positioner og dynamik.
2. Dominans af kinetisk energi: Ved at antage, at der ikke er nogen potentiel energi, fokuserer analysen udelukkende på den rumlige og tidsmæssige udvikling, der drives af kinetiske termer.
3. Gravitationsanalogi: Udseendet af et udtryk for invers afstand i bølgefunktionens adfærd antyder et kvantefundament for gravitationslignende interaktioner, hvor bølgeegenskaber styrer langdistanceeffekter.

Fremtidige retninger

1. Inkorporering af potentiel energi: Tilføjelse af en potentiel
   $V(r)$V(r) kan forfine modellen ved at indfange eksterne kræfter eller felter, der virker på partiklerne.
2. Relativistiske korrektioner: For at få en komplet kvantegravitationel ramme kan det være nødvendigt at udvide til relativistiske bølgeligheder (f.eks. Klein-Gordon- eller Dirac-ligninger).
3. Sammenfiltring og ikke-lokalitet: Ved at undersøge, hvordan bølgefunktioner påvirker hinanden, kan man udforske sammenfiltring eller ikke-lokale interaktionsmekanismer i tyngdekraften.

Denne matematiske ramme giver et springbræt til at forstå kvanteinteraktioner med en gravitationel fortolkning, der potentielt kan bygge bro mellem kvantemekanik og klassisk tyngdekraft.