Lösen der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom

Das Wasserstoffatom ist ein zentrales System in der Quantenphysik, das häufig als Modell für das Verständnis der elektronischen Struktur von Atomen verwendet wird. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für dieses Atom beruht auf der sphärischen Symmetrie des Problems und dem Coulomb-Potential zwischen dem Proton (Kern) und dem Elektron.

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1. Schrödingergleichung im Coulomb-Potential

Die Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen der Masse $m$m in einem zentralen Potential $V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$V(r)=-4πϵ0re2 ist gegeben durch:

$$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$$-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

In Kugelkoordinaten ist die Wellenfunktion aufgrund der radialen Symmetrie $psi(r, theta, phi)$ψ(r,θ,ϕ) kann getrennt werden als:

$$psi(r, theta, phi) = R(r) Y_l^m(theta, phi)$$ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

wobei:

• $R(r)$R(r) ist der radiale Teil der Wellenfunktion, der nur von der Entfernung $r$r,
• $Y_l^m(theta, phi)$Ylm(θ,ϕ) sind die von den Winkeln abhängigen sphärischen Harmonischen $theta$θ und $phi$ϕ,
• $l$l ist die Orbitalquantenzahl, und $m$m sein magnetisches Unterniveau.

Der radiale Teil erfüllt eine unabhängige Differentialgleichung:

$$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} links( r^2 frac{dR}{dr} rechts) + links[ frac{2m}{hbar^2} links( E – V(r) rechts) – frac{l(l+1)}{r^2} rechts] R(r) = 0$$r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

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2. Lösen der Radialgleichung

Um diese Gleichung zu lösen, führen wir die dimensionslose Variable $rho = frac{r}{a_0}$ρ=a0r, wobei $a_0$a0 der Bohr’sche Radius ist:

$$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$$a0=me24πϵ0ℏ2

Die Lösung für $R(r)$R(r) ist eine Kombination aus Exponentialfunktionen und zugehörigen Laguerre-Polynomen:

$$R_{n,l}(r) = N_{n,l} , rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$$Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

wobei:

• $n$n ist die Hauptquantenzahl,
• $l$l ist die Orbitalquantenzahl,
• $L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$Ln-l-12l+1(ρ) sind zugehörige Laguerre-Polynome,
• $N_{n,l}$Nn,l ist eine Normalisierungskonstante.

Für den Grundzustand ($n = 1, l = 0$n=1,l=0), vereinfacht sich die Lösung zu:

$$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$$R1,0​(r)=a03​​2​e−r/a0​

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3. Radiale Dichte und Wahrscheinlichkeit

Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, das Elektron in einer Entfernung zu finden $r$r, ist gegeben durch:

$$P(r) = |R(r)|^2 r^2$$P(r)=∣R(r)∣2r2

Für $n = 1, l = 0$n=1,l=0, wird diese Wahrscheinlichkeitsdichte zu:

$$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$$P(r)=a03​4​e−2r/a0​r2

Dies zeigt einen exponentiellen Zerfall, der durch einen geometrischen Faktor moduliert wird $r^2$r2. Diese Kombination spiegelt die Dualität zwischen der radialen Lokalisierung des Elektrons und der sphärischen Symmetrie wider.

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Vom Wasserstoffatom zu allgemeinen Wellen: Eine universelle Zersetzung

Die Lösung für das Wasserstoffatom basiert auf einer Kombination von Exponentialen ($e^{-r}$e-r) und polynomischen Termen. Diese Struktur ist typisch für die Modellierung von Wellen oder Feldern. Eine Schlüsselidee der mathematischen Physik ist, dass alle Wellen oder Felder in Summen komplexer Exponentiale zerlegt werden können, ähnlich wie Fourier-Reihen.

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4. Zerlegung von Wellen in Exponentiale

Die Zerlegung einer Funktion oder Welle $f(r)$f(r) kann als Summen oder Integrale der Form verallgemeinert werden:

$$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$$f(r)=∫A(k)e-krdk

wobei:

• $A(k)$A(k) ist eine Amplitude abhängig von $k$k,
• $e^{-kr}$e-kr stellt eine elementare Komponente dar.

Diese Idee ist analog zu Fourier-Reihen, bei denen periodische Funktionen als Summen von $e^{iomega t}$eiωt, aber hier behandeln wir nicht-periodische oder lokalisierte Funktionen.

In der Bienentheorie wird dieses Prinzip verallgemeinert, um jede Welle oder jedes Feld mit Termen der Form zu beschreiben $A e^{-kr}$Ae-kr, die nicht nur Quantenlösungen wie die des Wasserstoffatoms, sondern auch Modelle für Gravitation oder fundamentale Wechselwirkungen umfasst.

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Bienentheorie und Summationen von $e^{-R}$e-R

In der Bienentheorie besteht die zentrale Idee darin, diese Zerlegung auf alle wellenartigen Wechselwirkungen auszudehnen. Wir wissen das:

1. Elektromagnetische Wellen (Lösungen der Maxwellschen Gleichungen) zerfallen in sphärische Harmonische und Exponentiale.
2. Quantenlösungen für Atome verwenden bereits Exponentialbasen wie $e^{-r/a}$e-r/a.
3. Gravitationswechselwirkungen und Potenziale wie das von Yukawa (in der Teilchenphysik) werden mit exponentiellen Zerfällen modelliert.

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5. Die universelle Verbindung: Jede Welle als Superposition

Die Bienentheorie schlägt vor, dass jede wellenartige Wechselwirkung (sei sie elektromagnetisch, gravitativ oder anderweitig) als eine Summe von Termen modelliert werden kann $A e^{-R}$Ae-R, wobei $R$R verallgemeinert die Entfernung oder eine Koordinate:

$$Phi(R) = sum_{i} A_i e^{-k_i R}$$Φ(R)=i∑Aie-kiR

Dieser Ansatz:

• Vereint klassische Lösungen (Maxwell, Schrödinger) und moderne Lösungen (abgeschirmte Potentiale wie Yukawa),
• Bietet eine vereinfachte Sichtweise der fundamentalen Wechselwirkungen,
• bietet einen Rahmen, um komplexe Phänomene zu simulieren oder zu beschreiben.

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6. Ausdehnung auf alle Wellen

• Schwerkraft: In Quantenrahmen kann das Gravitationspotential als Summe von $e^{-R}$e-R-Termen betrachtet werden (ein Gravitationsabschirmungsmodell).
• Quantenphysik: Quantenzustände, wie die des Wasserstoffatoms, zeigen bereits diese exponentielle Basis.
• Kosmologie: Fluktuationen im kosmischen Mikrowellenhintergrund oder Gravitationswellen können durch exponentielle Terme ausgedrückt werden.

Durch die Vereinheitlichung von Wechselwirkungsmodellen durch Summen von $e^{-R}$e-R, bietet die BeeTheory einen allgemeinen Rahmen für die Modellierung aller Formen von Wellen, sei es in einem quantenmechanischen, klassischen oder kosmologischen Kontext.

Wenn Sie tiefer in diese Theorie eintauchen oder ihre Anwendungen erforschen möchten, bietet BeeTheory zugängliche und leistungsstarke Modellierungswerkzeuge, um physikalische Phänomene unter einem gemeinsamen wellenbasierten Rahmen zu vereinen.