Aaltomallinnus: Beetheoryyn perustuva tieteellinen johdanto

Beethe-teoria esittelee uudenlaisen lähestymistavan aaltojen mallintamiseen tarkastelemalla paikallisia funktioita, kuten esim.

$Psi(R, t) = A cdot e^{-alpha(RA – A_0)} cdot e^{iomega_1 t}$

Ψ(R,t)=A⋅e-α(RA-A0)⋅eiω1t. Tässä funktiossa yhdistyvät yksiselitteisesti spatiaalinen lokalisaatio (Gaussin kaltaisen kuoren avulla) ja ajallinen värähtely (taajuudella

$omega_1$

ω1). Perinteinen aaltomallinnus perustuu usein Fourierin hajotukseen tasoaaltoihin, mutta Beetheory laajentaa tätä keskittymällä paikallisiin aaltomoodeihin, jotka soveltuvat paremmin alueellisesti rajattujen ilmiöiden kuvaamiseen.

Tässä artikkelissa tarkastellaan tämän lähestymistavan perusteita, vedetään analogioita Fourier-sarjojen hajotukseen ja osoitetaan, miten se voidaan yleistää minkä tahansa avaruudellisen aallon esittämiseen. Lisäksi siinä tuodaan esiin tämän menetelmän tieteellisiä motiiveja ja sovelluksia.

---

Fourier-sarjojen hajotuksen perusteet

Fourier-sarjan hajottaminen on klassinen menetelmä, jolla jaksolliset funktiot voidaan esittää sinimuotoisten komponenttien summana. Periodiselle funktiolle

$f(x)$

f(x) jakson

$T$

T, Fourier-sarja saadaan seuraavasti:

$$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^infty left( a_n cosleft(frac{2pi n x}{T}right) + b_n sinleft(frac{2pi n x}{T}right) right),$$

f(x)=a0+n=1∑∞(ancos(T2πnx)+bnsin(T2πnx)),

jossa kertoimet

$a_n$

an ja

$b_n$

bn kuvaavat vastaavasti kosini- ja sinitermejä. Fourier-analyysi on ratkaisevan tärkeä oskilloivien ilmiöiden kuvaamisessa, mutta sillä on rajoituksia, kun sitä sovelletaan epäjaksoisiin tai alueellisesti rajattuihin funktioihin.

Beetheory perustuu Fourierin dekompositioon ja puuttuu näihin rajoituksiin. Sen sijaan, että aalto esitettäisiin tasoaaltojen äärettömänä summana, siinä otetaan käyttöön paikallisia aaltomoodeja, jotka soveltuvat paremmin alueellisesti rajattujen värähtelyjen kuvaamiseen.

---

Käsitteen yleistäminen: Paikallinen aaltojen hajottaminen

Perinteinen tasoaallon esitys

Klassisessa aaltoteoriassa mikä tahansa alueellisesti vaihteleva funktio –

$Psi(R, t)$

Ψ(R,t) voidaan esittää tasoaaltojen päällekkäisyytenä:

$$Psi(R, t) = int_{-infty}^infty Phi(k, t) , e^{i k R} , dk,$$

Ψ(R,t)=∫-∞∞∞Φ(k,t)eikRdk,

missä:

• $k$
  

  k on aaltovektori tai paikkataajuus,

  
  
• $Phi(k, t)$
  

  Φ(k,t) on spektraalinen amplitudi, joka edustaa aaltovektorin osuutta.

  
  $k$
  

  k,

  
  
• $e^{i k R}$
  

  eikR on tasoaaltovärähtely, joka vastaa seuraavia arvoja

  
  $k$
  

  k.

  
  

Tätä hajotustapaa käytetään yleisesti, mutta siinä oletetaan, että aallot ulottuvat äärettömän pitkälle avaruuteen, mikä on epärealistista useimmissa fysikaalisissa järjestelmissä. Beethe-teoria ehdottaa vaihtoehtoa, joka perustuu paikallisiin aaltomoodeihin.

---

Paikallinen aaltojen esitys

Sen sijaan, että luotettaisiin pelkästään tasoaaltoihin, Beetheory ottaa käyttöön lokalisoituja aaltofunktioita, joissa yhdistyvät avaruudellinen kuori ja värähtelykomponentit. Yksittäinen lokalisoitu aaltomoodi voidaan ilmaista seuraavasti:

$$phi(R, k) = e^{-alpha(R – R_0)} cdot e^{i k R},$$

ϕ(R,k)=e-α(R-R0)⋅eikR,

missä:

• $e^{-alpha(R – R_0)}$
  

  e-α(R-R0) on avaruudellinen kuori, joka lokalisoi aallon ympärille.

  
  $R_0$
  

  R0,

  
  
• $e^{i k R}$
  

  eikR edustaa aallon värähtelykomponenttia,

  
  
• $alfa$
  

  α säätelee lokalisointiastetta.

  
  

Täydellinen aaltofunktio muodostuu sitten näiden lokalisoitujen tilojen superpositiosta:

$$Psi(R, t) = int_{-infty}^infty int_{-infty}^infty C(k, R_0) , e^{-alpha(R – R_0)} cdot e^{i k R} , dk , dR_0,$$

Ψ(R,t)=∫-∞∞∞∫-∞∞∞C(k,R0)e-α(R-R0)⋅eikRdkdR0,

jossa

$C(k, R_0)$

C(k,R0) määrittää sen paikallistetun moodin amplitudin, jonka aaltovektori on seuraava

$k$

k ja keskipiste

$R_0$

R0.

---

Lokalisoitujen funktioiden spektrianalyysi

Seuraavassa erityistapauksessa

$Psi(R, t) = A cdot e^{-alpha(RA – A_0)} cdot e^{iomega_1 t}$

Ψ(R,t)=A⋅e-α(RA-A0)⋅eiω1t, avaruudellinen komponentti.

$e^{-alpha(RA – A_0)}$

e-α(RA-A0) on Gaussin funktio. Sen Fourier-muunnos tuottaa:

$$Phi(k) = A cdot frac{sqrt{pi}}{alpha} cdot e^{-frac{(k – k_0)^2}{4alpha^2}},$$

Φ(k)=A⋅απ⋅e-4α2(k-k0)2,

jossa

$k_0$

k0 edustaa keskeistä spatiaalista taajuutta. Tämä tulos osoittaa, että funktio

$Psi(R, t)$

Ψ(R,t) voidaan katsoa tasoaaltojen superpositioksi, mutta painot on jaettu Gaussin profiilin mukaisesti, joka on noin seuraava

$k_0$

k0.

Toisin kuin puhtaasti oskilloiva aalto (esim,

$e^{i k R}$

eikR), jolla on ääretön avaruudellinen ulottuvuus, tämä paikallinen aalto rajoittuu tietylle avaruusalueelle, mikä tekee siitä fysikaalisia ilmiöitä edustavamman.

---

Yhteys Beetheoryyn: Fourier-analyysin ulkopuolella

Beetheory laajentaa Fourier-analyysia korostamalla alueellista ja taajuuslokaatiota. Kun Fourier-sarjat tai -muunnokset hajottavat funktion äärettömiin, ei-lokalisoituihin komponentteihin, Beetheory sisältää seuraavat keskeiset innovaatiot:

1. Paikalliset kirjekuoret: Gaussin kaltaiset alueelliset kirjekuoret

   
   $e^{-alpha(R – R_0)}$
   

   e-α(R-R0) varmistavat, että aaltomoodit ovat alueellisesti rajattuja, mikä kuvaa todellisia ilmiöitä, kuten aaltopaketteja tai rajattuja kenttiä.

   
   

2. Lokalisoitujen moodien superpositio: Tämä teoria sallii alueellisesti rajattujen moodien yhdistämisen sen sijaan, että se tukeutuisi yksinomaan tasoaaltoihin, mikä mahdollistaa monimutkaisten, ei-jaksollisten järjestelmien mallintamisen.

   
   

3. Ajallinen dynamiikka: integroimalla ajalliset värähtelyt

   
   $e^{iomega t}$
   

   eiωt, Beetheory yhdistää saumattomasti avaruudelliset ja ajalliset alueet, minkä ansiosta sitä voidaan soveltaa dispersiivisiin tai epälineaarisiin aaltoilmiöihin.

   
   

---

Sovellukset ja vaikutukset

1. Kvanttimekaniikka: Kvanttisysteemeissä paikalliset funktiot, kuten

   
   $Psi(R, t)$
   

   Ψ(R,t) ovat välttämättömiä aaltopakettien kuvaamisessa, sillä ne edustavat hiukkasia, joilla on tietty sijainti- ja impulssijakauma.

   
   

2. Optiikka: Beetheoriaa voidaan soveltaa mallintamaan tilallisesti rajattuja lasersäteitä tai valokenttiä, joissa Gaussin kuorella on ratkaiseva rooli.

   
   

3. Signaalinkäsittely: signaalien analysointi: Paikallisiin moodeihin purkaminen voi auttaa analysoimaan signaaleja, jotka eivät ole jaksollisia tai rajoittuvat tietyille alueille tilassa tai ajassa.

   
   

4. Aaltojen eteneminen väliaineissa: Beetheory tarjoaa näkemyksiä aalto-ohjainten, paikallisten värähtelyjen ja akustisten kenttien kaltaisista ilmiöistä.

   
   

---

Beetheory määrittelee aaltomallinnuksen uudelleen kuromalla umpeen perinteisen Fourier-analyysin ja fyysisen todellisuuden, joka perustuu alueellisesti lokalisoituihin aaltoihin. Ottamalla käyttöön lokalisoidut moodit ja yleistämällä aaltojen hajottamisen käsitteen se tarjoaa monipuoliset puitteet monimutkaisten aalto-ilmiöiden ymmärtämiseen eri tieteenaloilla. Tämä lähestymistapa, jonka juuret ovat funktioissa kuten Ψ(R,t)Psi(R, t)Ψ(R,t), avaa uusia mahdollisuuksia aaltojen esittämiseen ja analysointiin sekä klassisilla että kvanttitutkimusalueilla.