Vetyatomin Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen

Vetyatomi on keskeinen järjestelmä kvanttifysiikassa, ja sitä käytetään usein mallina atomien elektronirakenteen ymmärtämisessä. Tämän atomin Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen perustuu ongelman pallosymmetriaan sekä protonin (ydin) ja elektronin väliseen Coulombin potentiaaliin.

1. Schrödingerin yhtälö Coulombin potentiaalissa

Schrödingerin yhtälö hiukkaselle, jonka massa on

$m$

m keskipotentiaalissa

$V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$

V(r)=-4πϵ0re2 saadaan seuraavasti:

$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$

-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

Pallokoordinaatistossa säteittäisen symmetrian vuoksi aaltofunktio

$psi(r, theta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ) voidaan erottaa seuraavasti:

$psi(r, theta, phi) = R(r) Y_l^m(theta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

missä:

$R(r)$
R(r) on aaltofunktion säteittäinen osa, joka riippuu vain etäisyydestä

$r$
r,
$Y_l^m(theta, phi)$
Ylm(θ,ϕ) ovat kulmista riippuvaisia sfäärisiä harmonisia.

$theta$
θ ja

$phi$
ϕ,
$l$
l on orbitaalikvanttiluku ja

$m$
m sen magneettinen alataso.

Radiaalinen osa täyttää riippumattoman differentiaaliyhtälön:

$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} left( r^2 frac{dR}{dr} right) + left[ frac{2m}{hbar^2} left( E – V(r) right) – frac{l(l+1)}{r^2} right] R(r) = 0$

r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

2. Radiaaliyhtälön ratkaiseminen

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi otetaan käyttöön dimensioton muuttuja

$rho = frac{r}{a_0}$

ρ=a0r, jossa

$a_0$

a0 on Bohrin säde:

$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$

a0=me24πϵ0ℏ2

Ratkaisu

$R(r)$

R(r) on eksponenttifunktioiden ja niihin liittyvien Laguerren polynomien yhdistelmä:

$R_{n,l}(r) = N_{n,l} , rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$

Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

missä:

$n$
n on pääkvanttiluku,
$l$
l on orbitaalikvanttiluku,
$L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$
Ln-l-12l+1(ρ) ovat niihin liittyviä Laguerren polynomeja,
$N_{n,l}$
Nn,l on normalisointivakio.

Perustilassa (

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0), ratkaisu yksinkertaistuu seuraavasti:

$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$

R1,0(r)=a032e−r/a0

3. Säteittäinen tiheys ja todennäköisyys

Säteittäinen todennäköisyystiheys, joka kuvaa todennäköisyyttä löytää elektroni etäisyydellä

$r$

r, saadaan seuraavasti:

$P(r) = |R(r)|^2 r^2$

P(r)=∣R(r)∣2r2

Osoitteessa

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0, tämä todennäköisyystiheys on:

$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$

P(r)=a034e−2r/a0r2

Tämä osoittaa eksponentiaalista hajoamista, jota moduloi geometrinen tekijä.

$r^2$

r2. Tämä yhdistelmä kuvastaa elektronin säteittäisen lokalisoinnin ja pallosymmetrian välistä kaksinaisuutta.

Vetyatomista yleisiin aaltoihin: Universaalinen hajoaminen

Vetyatomin ratkaisu perustuu eksponenttien yhdistelmään (

$e^{-r}$

e-r) ja polynomitermejä. Tämä rakenne on tyypillinen aalto- tai kenttämallinnuksessa. Matemaattisen fysiikan keskeinen ajatus on, että kaikki aallot tai kentät voidaan hajottaa kompleksisten eksponentiaalien summiksi, jotka muistuttavat Fourier-sarjoja.

4. Aallon hajottaminen eksponentteihin

Funktion tai aallon hajoaminen

$f(r)$

f(r) voidaan yleistää seuraavanlaisiksi summiksi tai integraaleiksi:

$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$

f(r)=∫A(k)e-krdk

missä:

$A(k)$
A(k) on amplitudi, joka riippuu seuraavista arvoista

$k$
k,
$e^{-kr}$
e-kr edustaa alkeiskomponenttia.

Tämä ajatus on analoginen Fourier-sarjojen kanssa, joissa jaksolliset funktiot ilmaistaan summina, jotka muodostetaan

$e^{iomega t}$

eiωt, mutta tässä käsittelemme epäjaksollisia tai paikallisia funktioita.

BeeTeoriassa tämä periaate yleistetään kuvaamaan mitä tahansa aaltoa tai kenttää käyttämällä termejä muodossa

$A e^{-kr}$

Ae-kr, joka kattaa vetyatomin kaltaisten kvanttiratkaisujen lisäksi myös gravitaatiomallit tai perustavanlaatuiset vuorovaikutusmallit.

Mehiläisteoria ja yhteenvedot

$e^{-R}$

e-R

BeeTeorian keskeinen ajatus on laajentaa tämä hajotus koskemaan kaikkia aaltomaisia vuorovaikutuksia. Tiedämme, että:

Sähkömagneettiset aallot (Maxwellin yhtälöiden ratkaisut) hajoavat palloharmonisiksi ja eksponentiaalisiksi.
Atomien kvanttiratkaisuissa käytetään jo nyt eksponenttiperustoja kuten
$e^{-r/a}$
e-r/a.
Gravitaatiovuorovaikutukset ja Yukawan kaltaiset potentiaalit (hiukkasfysiikassa) mallinnetaan eksponentiaalisella hajoamisella.

5. Universaali linkki: Mikä tahansa aalto superpositiona

BeeTheory ehdottaa, että mikä tahansa aaltomainen vuorovaikutus (olipa se sitten sähkömagneettinen, gravitaatiovuorovaikutus tai muu) voidaan mallintaa termien summana

$A e^{-R}$

Ae-R, jossa

$R$

R yleistää etäisyyden tai koordinaatin:

$Phi(R) = sum_{i} A_i e^{-k_i R}$

Φ(R)=i∑Aie-kiR

Tämä lähestymistapa:

Yhdistää klassiset ratkaisut (Maxwell, Schrödinger) ja nykyaikaiset ratkaisut (varjostetut potentiaalit kuten Yukawa),
Tarjoaa yksinkertaistetun näkemyksen perustavanlaatuisista vuorovaikutussuhteista,
Tarjoaa puitteet monimutkaisten ilmiöiden simuloimiseksi tai kuvaamiseksi.

6. Laajentuminen kaikkiin aaltoihin

Painovoima: Kvanttikehyksissä gravitaatiopotentiaali voidaan nähdä seuraavien tekijöiden summana
$e^{-R}$
e-R -termeistä (gravitaatioruutumalli).
Kvanttifysiikka: Kvanttitilat, kuten vetyatomin tilat, osoittavat jo tämän eksponentiaalisen perustan.
Kosmologia: Kosmisen mikroaaltotaustan tai gravitaatioaaltojen vaihtelut voidaan ilmaista eksponentiaalitermeillä.

Yhdistämällä vuorovaikutusmallit e-Re^{-R}e-R:n summien avulla BeeTheory tarjoaa yleiset puitteet kaikkien aaltomuotojen mallintamiseen, olipa kyse sitten kvantti-, klassisesta tai kosmologisesta kontekstista.

Jos haluat sukeltaa syvemmälle tähän teoriaan tai tutkia sen sovelluksia, BeeTheory on suunniteltu tarjoamaan helppokäyttöisiä ja tehokkaita mallinnustyökaluja fysikaalisten ilmiöiden yhdistämiseksi yhteisen aaltopohjaisen kehyksen alle.