L’atome d’hydrogène est un système central en physique quantique, souvent utilisé comme modèle pour comprendre la structure électronique des atomes. La résolution de l’équation de Schrödinger pour cet atome repose sur la symétrie sphérique du problème et le potentiel de Coulomb entre le proton (noyau) et l’électron.

1. Équation de Schrödinger dans le potentiel de Coulomb

L’équation de Schrödinger pour une particule de masse $m$ dans un potentiel central $V(r) = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}$ est donnée par :

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V(r)\psi = E\psi$$

En coordonnées sphériques, grâce à la symétrie radiale, la fonction d’onde $\psi(r, \theta, \phi)$ est séparée comme suit :

$$\psi(r, \theta, \phi) = R(r) Y_l^m(\theta, \phi)$$

où :

• $R(r)$ est la fonction radiale dépendant de la distance $r$,
• $Y_l^m(\theta, \phi)$ sont les harmoniques sphériques dépendant des angles $\theta$ et $\phi$,
• $l$ est le nombre quantique orbital, et $m$ son sous-niveau.

La partie radiale satisfait une équation différentielle indépendante :

$$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR}{dr} \right) + \left[ \frac{2m}{\hbar^2} \left( E – V(r) \right) – \frac{l(l+1)}{r^2} \right] R(r) = 0$$

2. Résolution Radiale

Pour résoudre cette équation, on introduit les variables adimensionnées $\rho = \frac{r}{a_0}$, où $a_0$ est le rayon de Bohr :

$$a_0 = \frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{me^2}$$

La solution de $R(r)$ est une combinaison de fonctions exponentielles et de polynômes associés de Laguerre :

$$R_{n,l}(r) = N_{n,l} \, \rho^l e^{-\rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$$

où :

• $n$ est le nombre quantique principal,
• $l$ est le nombre quantique orbital,
• $L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$ sont des polynômes associés de Laguerre,
• $N_{n,l}$ est une constante de normalisation.

Dans l’état fondamental ($n = 1, l = 0$), la solution devient :

$$R_{1,0}(r) = \frac{2}{\sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$$

3. Densité Radiale et Probabilité

La densité radiale de probabilité, qui décrit la probabilité de trouver l’électron à une distance $r$, est donnée par :

$$P(r) = |R(r)|^2 r^2$$

Pour $n = 1, l = 0$, cette densité devient :

$$P(r) = \frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$$

Cela montre une décroissance exponentielle multipliée par un facteur géométrique $r^2$. Cette combinaison reflète la dualité entre la localisation radiale de l’électron et la symétrie sphérique.

De l’atome d’hydrogène aux ondes générales : Une Décomposition Universelle

La solution pour l’atome d’hydrogène repose sur une combinaison d’exponentielles ($e^{-r}$) et de termes polynomiaux. Cette structure est typique dans la modélisation d’ondes ou de champs. Un concept clé en physique mathématique est que toutes les ondes ou champs peuvent être décomposés en sommes d’exponentielles complexes, sur le modèle des séries de Fourier.

4. Décomposition des Ondes en Exponentielles

La décomposition d’une fonction ou d’une onde $f(r)$ peut être généralisée par des sommes ou intégrales de la forme :

$$f(r) = \int A(k) e^{-kr} \, dk$$

où :

• $A(k)$ est une amplitude dépendant de $k$,
• $e^{-kr}$ représente une composante élémentaire.

Cette idée est analogue aux séries de Fourier où les fonctions périodiques sont exprimées comme des sommes de termes $e^{i\omega t}$, sauf qu’ici, nous traitons des fonctions non périodiques ou localisées.

Dans la BeeTheory, nous généralisons ce principe pour décrire n’importe quelle onde ou champ à l’aide de termes de la forme $A e^{-kr}$, ce qui inclut non seulement les solutions quantiques comme celles de l’atome d’hydrogène, mais aussi des modèles pour la gravité ou les interactions fondamentales.

BeeTheory et les Sommations de $e^{-R}$

Dans la BeeTheory, l’idée est d’étendre cette décomposition à toute interaction ondulatoire. Nous savons que :

1. Les ondes électromagnétiques (solutions de Maxwell) se décomposent en harmoniques sphériques et exponentielles.
2. Les solutions de Schrödinger pour les atomes utilisent aussi des bases $e^{-r/a}$.
3. Les interactions gravitationnelles et les potentiels comme celui de Yukawa (en physique des particules) se modélisent avec des décroissances exponentielles.

5. Le Lien Universel : Toute Onde comme Superposition

La BeeTheory postule que toute interaction ondulatoire (qu’elle soit électromagnétique, gravitationnelle, ou autre) peut être modélisée comme une somme de termes $A e^{-R}$, où $R$ est une généralisation de la distance ou d’une coordonnée :

$$\Phi(R) = \sum_{i} A_i e^{-k_i R}$$

Cette approche :

• Unifie les solutions classiques (Maxwell, Schrödinger) et modernes (potentiels écrantés comme Yukawa),
• Permet une vision simplifiée des interactions fondamentales,
• Offre une base pour simuler ou décrire des phénomènes complexes.

6. Application à Toutes les Ondes

• Gravité : Dans des cadres quantiques, le potentiel gravitationnel peut être vu comme une somme de termes $e^{-R}$ (modèle d’écran gravitationnel).
• Physique quantique : Les états quantiques comme ceux de l’atome d’hydrogène montrent déjà cette base exponentielle.
• Cosmologie : Les fluctuations du fond diffus cosmologique ou des ondes gravitationnelles peuvent être exprimées par des termes exponentiels.

En unifiant les modèles d’interactions grâce à des sommes $e^{-R}$, la BeeTheory propose un cadre général pour modéliser toutes les formes d’ondes, qu’elles soient dans un contexte quantique, classique ou cosmologique.

Si vous souhaitez approfondir cette théorie ou explorer ses applications, la BeeTheory est conçue pour fournir des outils de modélisation accessibles et puissants pour unifier les phénomènes physiques autour d’une base ondulatoire commune.