Résumé mathématique : Modèle d'interaction gravitationnelle

BeeTheory Math Summary : Modèle d’interaction gravitationnelle

La théorie de l’abeille : Explorer une nouvelle perspective sur la gravité

Le projet Bee-Theory étudie une nouvelle théorie sur la gravité, proposant que les forces gravitationnelles résultent de la sommation des fonctions d’onde de deux particules. Ce concept suggère que la sommation de deux termes radiaux exp(-x) de l’équation de Schrödinger génère une force d’attraction avec un potentiel proportionnel à $1/D$ 1/D et une force proportionnelle à $1/D^2$ 1/D2.

Principales étapes

2015: Début du projet.
2016: Formalisation des idées initiales.
2023: Théorie mathématique développée en utilisant les coordonnées sphériques et le Laplacien pour deux particules, en collaboration avec ChatGPT.

Possibilités de collaboration

Bee-Theory recherche des évaluateurs avancés et des collaborateurs pour évaluer et affiner son cadre théorique.

Ressources

Résumé en anglais et premier examen mathématique:
20231226_BeeTheory_v2_EN
Résumé en Français / Première Formalisation Mathématique:
20231226_BeeTheory_v2
Présentation de base:
Théorie de l’abeille_v3-6

Pour plus de détails, visitez le site officiel

Contactez-nous pour apporter votre expertise et contribuer à l’avancement de ce projet novateur.

Nous considérons deux particules élémentaires ( A_0 ) et ( B_0 ) modélisées par des fonctions d’onde que nous additionnons :

[
Psi(x, y, z, t) = Psi(A, t) + Psi(B, t)
]

[
Psi(x, y, z, t) = A cdot e^{-alpha({x, y, z} – A_0)} cdot e^{iomega_1 t} + B cdot e^{-beta({x, y, z} – B_0)} cdot e^{iomega_2 t}
]

Nous changeons le cadre de référence en coordonnées sphériques :

[
Psi(R, t) = A cdot e^{-alpha(R_A-A_0)} cdot e^{iomega_1 t} + B cdot e^{-beta(R_B-B_0)} cdot e^{iomega_2 t}
]

Les positions des particules ( A_0 ) et ( B_0 ) sont considérées comme fixes à l’échelle de temps considérée. Nous nous concentrons sur la deuxième particule ( B_0 ) :

[
Psi(R, t) = Psi(R_B + r, t)
]

[
R_A = R_{A0B0} + r, quad R_B = r, quad r text{ est petit}.
]

[
Psi(R, t) = A cdot e^{-alpha(R_{A0B0} + r)} cdot e^{iomega_1(t+d_1)} + B cdot e^{-beta r} cdot e^{iomega_2(t+d_2)}
]

Nous appliquons l’équation de Schrödinger, en considérant qu’il n’y a que de l’énergie cinétique et pas d’énergie potentielle. ( V ) est nulle partout.

[
ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R,t) = T + V = T
]

[
ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R,t) = -2mhbar^2 nabla^2 Psi(R, t)
]

En se plaçant à ( B_0 ), on simplifie en ne calculant que le premier terme lié à ( A ), le terme lié à ( B ) est nul à ( B_0 ) ; on extrait le terme dans ( R_{A0B0} ) qui est une constante :

[
ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R,t) = -2mhbar^2 nabla^2(A e^{-alpha R_{A0B0}} cdot e^{-alpha cdot r/R_{A0B0}})
]

En utilisant le Laplacien en coordonnées sphériques pour une fonction qui ne dépend que de ( r ) :

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr} (r^2 frac{df}{dr})
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr} (r^2 cdot frac{d}{dr} e^{-alpha cdot r/R_{A0B0}})
]

[
r^2 cdot frac{d}{dr} psi(r) = r^2 cdot frac{d}{dr} (e^{-alpha r/R_{A0B0}}) = r^2 cdot (-alpha r/R_{A0B0}) cdot e^{-alpha r/R_{A0B0}}
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr}(r^2 cdot -alpha r/R_{A0B0} cdot e^{-alpha r/R_{A0B0}})
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} cdot -alpha/R_{A0B0} cdot frac{d}{dr}(r^3 cdot e^{-alpha r/R_{A0B0}})
]

Sachant que ( R_{A0B0} ) est grand et que ( r ) est très petit :

[
nabla^2 f(r) approx -3alpha/R_{A0B0}}
]

On obtient donc un potentiel proportionnel à l’inverse de la distance entre les particules.

Dans le domaine de la mécanique quantique, la description des particules en tant que fonctions d’onde représente un changement fondamental par rapport à la physique classique, qui traite généralement les particules comme des entités discrètes avec des positions et des vitesses définies. Cette transition conceptuelle vers la dualité onde-particule permet une compréhension plus complète du comportement des particules subatomiques, telles que les électrons et les photons, notamment en ce qui concerne leurs interactions, leur propagation et les effets du confinement sur leurs états quantiques.

La mécanique quantique postule que chaque particule est associée à une fonction d’onde, qui fournit une description probabiliste de son état quantique en fonction de la position et du temps. La fonction d’onde, souvent désignée par Ψ (Psi), contient toutes les informations sur l’état quantique d’une particule et est fondamentale pour prédire comment cet état évolue dans le temps selon l’équation de Schrödinger.

Cette introduction se penche sur la modélisation mathématique des fonctions d’onde de deux particules élémentaires, en explorant leur somme et leurs interactions à travers un cadre mathématique complet. Ces particules sont modélisées d’une manière qui nous permet d’examiner leur dynamique sous diverses transformations, telles que les changements de système de coordonnées, et les interactions dans le cadre de la mécanique quantique non relativiste.

Représentation mathématique des fonctions d’onde

La forme standard d’une fonction d’onde pour une particule en mécanique quantique est à valeurs complexes, incorporant à la fois une amplitude et une phase. Cette fonction est une solution à l’équation de Schrödinger, qui décrit comment la fonction d’onde évolue dans l’espace et le temps. L’équation est linéaire et permet la superposition des solutions, ce qui signifie que si deux fonctions d’onde sont des solutions, leur somme est également une solution. Ce principe sous-tend notre approche de la modélisation des interactions entre particules à l’aide de leurs fonctions d’onde respectives.

Modélisation des interactions entre particules

Pour notre modèle, nous considérons deux particules, désignées comme $𝐴_{0}$ A0 et $𝐵_{0}$ B0, chacune décrite par sa fonction d’onde. Le système global est alors décrit par la superposition de ces fonctions d’onde, conduisant à une fonction d’onde combinée qui fournit un champ d’amplitudes de probabilité. L’analyse de ces superpositions nous aide à comprendre comment les particules influencent les états quantiques les unes des autres par des phénomènes tels que l’interférence et l’intrication.

Passage aux coordonnées sphériques

Dans l’analyse des systèmes quantiques, le choix d’un système de coordonnées approprié peut simplifier considérablement le traitement mathématique, en particulier lorsqu’il s’agit de systèmes à symétrie sphérique tels que les atomes ou les puits de potentiel sphériques. En passant aux coordonnées sphériques, nous pouvons décrire plus efficacement les dépendances radiales et les propriétés du moment angulaire du système. Cette transformation de coordonnées est cruciale lorsque la symétrie naturelle du système physique s’aligne sur les coordonnées sphériques, ce qui est souvent le cas dans les systèmes atomiques et moléculaires.

L’énergie cinétique en point de mire

Dans notre modèle, nous supposons que l’énergie potentielle $𝑉$ V est nulle, ce qui implique que nous nous concentrons uniquement sur la composante d’énergie cinétique du système quantique. Cette simplification est courante dans les traitements théoriques des particules libres ou pour illustrer les concepts fondamentaux de la mécanique quantique sans les facteurs de complication que sont les énergies potentielles. L’opérateur d’énergie cinétique, noté $𝑇$ T, devient alors le principal moteur de la dynamique décrite par la fonction d’onde.

Techniques mathématiques avancées

L’utilisation de techniques mathématiques avancées, telles que le laplacien en coordonnées sphériques, devient indispensable dans notre analyse. Ces techniques nous permettent d’approfondir les aspects différentiels de la fonction d’onde et de comprendre comment les changements dans la configuration spatiale du système influencent le comportement des particules. L’opérateur Laplacien, en particulier, joue un rôle clé dans la détermination de l’évolution de l’amplitude et de la phase de la fonction d’onde dans l’espace, qui est directement liée aux propriétés observables du système, telles que la distribution des positions et des moments.

En conclusion, cette introduction ouvre la voie à une exploration détaillée de la modélisation mécanique quantique des interactions entre particules. En examinant la superposition des fonctions d’onde et l’application de l’équation de Schrödinger dans un contexte dépourvu d’énergie potentielle, nous visons à découvrir la dynamique nuancée des particules élémentaires dans un cadre purement cinétique, enrichissant ainsi notre compréhension de la mécanique quantique et de ses principes fondamentaux.

Décomposons les éléments clés et résumons la progression mathématique :

1. Représentation de la fonction d’onde

Deux particules, $A_0$ A0 et $B_0$ B0, sont modélisés par leurs fonctions d’onde :

$Psi(x, y, z, t) = A e^{-alpha({x, y, z} – A_0)} e^{iomega_1 t} + B e^{-beta({x, y, z} – B_0)} e^{iomega_2 t}.$ Ψ(x,y,z,t)=Ae-α({x,y,z}-A0)eiω1t+Be-β({x,y,z}-B0)eiω2t.

Cette représentation suppose :

Termes d’amplitude ( $A, B$ A,B) et la décroissance spatiale ( $e^{-alpha r}, e^{-beta r}$ e-αr,e-βr).
Dépendance temporelle oscillatoire ( $e^{iomega t}$ eiωt) caractéristiques des états quantiques.

2. Passage aux coordonnées sphériques

Le passage aux coordonnées sphériques simplifie l’analyse des dépendances radiales, en particulier lors de l’étude des interactions localisées autour d’une particule (par ex, $B_0$ B0) :

$Psi(R, t) = A e^{-alpha(R_{A_0B_0} + r)} e^{iomega_1(t+d_1)} + B e^{-beta r} e^{iomega_2(t+d_2)}.$ Ψ(R,t)=Ae-α(RA0B0+r)eiω1(t+d1)+Be-βreiω2(t+d2).

Ici :

$R_{A_0B_0}$ RA0B0 : La distance fixe entre les particules $A_0$ A0 et $B_0$ B0.
$r$ r : Le faible écart par rapport à $B_0$ B0.

3. Application de l’équation de Schrödinger

En supposant qu’il n’y a pas d’énergie potentielle ( $V = 0$ V=0), l’opérateur d’énergie cinétique ( $T$ T) régit l’évolution de la fonction d’onde :

$ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R, t) = -frac{hbar^2}{2m} nabla^2 Psi(R, t).$ iℏ∂t∂Ψ(R,t)=-2mℏ2∇2Ψ(R,t).

En se concentrant sur la contribution de $A$ A, le terme spatial se simplifie à :

$Psi(R, t) sim A e^{-alpha R_{A_0B_0}} e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}}.$ Ψ(R,t)∼Ae-αRA0B0e-αRA0B0r.

4. Laplacien en coordonnées sphériques

Utilisation de l’opérateur Laplacien pour les fonctions radialement dépendantes :

$nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{partial}{partial r} left( r^2 frac{partial}{partial r} f(r) right),$ ∇2f(r)=r21∂r∂(r2∂r∂f(r)),

nous calculons :

$f(r) = e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}}.$ f(r)=e-αRA0B0r.

Etapes :

Calculez $r^2 frac{partial}{partial r}$ r2∂r∂ : $r^2 frac{partial}{partial r} left( e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}} droite) = r^2 left( -frac{alpha}{R_{A_0B_0}} e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}} droite).$ r2∂r∂(e-αRA0B0r)=r2(-RA0B0αe-αRA0B0r).
Différenciez à nouveau : $nabla^2 f(r) approx -frac{3alpha}{R_{A_0B_0}}.$ ∇2f(r)≈-RA0B03α.

5. Potentiel émergent de distance inverse

Le Laplacien révèle que la fonction d’onde génère un terme proportionnel à $frac{-1}{R_{A_0B_0}}$ RA0B0-1, ce qui implique un potentiel effectif inversement proportionnel à la distance entre les particules. Cela suggère que des effets gravitationnels ou semblables à des interactions émergent naturellement du formalisme de la fonction d’onde quantique.

Principales connaissances physiques

Interactions des fonctions d’onde : Le principe de superposition permet de modéliser les interactions entre les particules, où les schémas d’interférence encodent des informations sur leurs positions relatives et leur dynamique.
Dominance de l’énergie cinétique : L’absence d’énergie potentielle permet de concentrer l’analyse sur l’évolution spatiale et temporelle induite par les termes cinétiques.
Analogie gravitationnelle : L’apparition d’un terme d’inverse de la distance dans le comportement de la fonction d’onde laisse entrevoir un fondement quantique pour les interactions de type gravitationnel, où les propriétés des ondes régissent les effets à longue portée.

Orientations futures

Incorporation de l’énergie potentielle : L’ajout d’un potentiel $V(r)$ V(r) pourrait affiner le modèle, en capturant les forces ou champs externes agissant sur les particules.
Corrections relativistes : Pour obtenir un cadre quantique-gravitationnel complet, l’extension aux équations d’ondes relativistes (par exemple, les équations de Klein-Gordon ou de Dirac) peut être nécessaire.
Intrication et non-localité : L’examen de la manière dont les fonctions d’onde s’influencent mutuellement pourrait permettre d’explorer les mécanismes d’intrication ou d’interaction non locale dans la gravité.

Ce cadre mathématique constitue un tremplin pour la compréhension des interactions quantiques avec une interprétation gravitationnelle, ce qui pourrait permettre de jeter un pont entre la mécanique quantique et la gravité classique.