Memecahkan Persamaan Schrödinger untuk Atom Hidrogen

Atom hidrogen adalah sistem utama dalam fisika kuantum, yang sering digunakan sebagai model untuk memahami struktur elektronik atom. Pemecahan persamaan Schrödinger untuk atom ini bergantung pada simetri bola masalah dan potensial Coulomb antara proton (inti) dan elektron.

1. Persamaan Schrödinger dalam Potensial Coulomb

Persamaan Schrödinger untuk sebuah partikel bermassa

$m$

m dalam potensi pusat

$V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$

V(r) = -4π ϵ 0re2 diberikan oleh:

$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$

-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

Dalam koordinat bola, karena simetri radial, fungsi gelombang

$psi (r, theta, phi)$

ψ(r, θ, ϕ) dapat dipisahkan sebagai:

$psi (r, theta, phi) = R (r) Y_l^m (theta, phi)$

ψ(r, θ, ϕ) = R (r) Ylm (θ, ϕ)

dimana:

$R (r)$
R(r) adalah bagian radial dari fungsi gelombang, yang hanya bergantung pada jarak

$r$
r,
$Y_l^m (theta, phi)$
Ylm (θ, ϕ) adalah harmonisa bola yang bergantung pada sudut

$theta$
θ dan

$phi$
ϕ,
$l$
l adalah bilangan kuantum orbital, dan

$m$
m adalah sublevel magnetiknya.

Bagian radial memenuhi persamaan diferensial independen:

$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} kiri( r^2 frac{dR}{dr} kanan) + kiri[ frac{2m}{hbar^2} kiri( E – V(r) kanan) – frac{l(l+1)}{r^2} kanan] R(r) = 0$

r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

2. Menyelesaikan Persamaan Radial

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kami memperkenalkan variabel tanpa dimensi

$rho = frac{r}{a_0}$

ρ = a0r, di mana

$a_0$

a0 adalah jari-jari Bohr:

$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$

a0 = me24π ϵ0ℏ2

Solusi untuk

$R (r)$

R(r) adalah kombinasi dari fungsi eksponensial dan polinomial Laguerre yang terkait:

$R_{n,l}(r) = N_{n,l} , rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$

Rn, l (r) = Nn, lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

dimana:

$n$
n adalah bilangan kuantum utama,
$l$
l adalah bilangan kuantum orbital,
$L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$
Ln-l-12l+1(ρ) adalah polinomial Laguerre yang terkait,
$N_{n,l}$
Nn,l adalah konstanta normalisasi.

Untuk kondisi dasar (

$n = 1, l = 0$

n = 1, l = 0), solusinya disederhanakan menjadi:

$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$

R1,0(r)=a032e−r/a0

3. Kepadatan dan Probabilitas Radial

Kepadatan probabilitas radial, yang menggambarkan kemungkinan menemukan elektron pada jarak jauh

$r$

r, diberikan oleh:

$P(r) = |R(r)|^2 r^2$

P (r) = ∣ R (r) ∣ 2r2

Untuk

$n = 1, l = 0$

n = 1, l = 0, densitas probabilitas ini menjadi:

$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$

P(r)=a034e−2r/a0r2

Hal ini menunjukkan peluruhan eksponensial yang dimodulasi oleh faktor geometris

$r^2$

r2. Kombinasi ini mencerminkan dualitas antara lokalisasi radial elektron dan simetri bola.

Dari Atom Hidrogen hingga Gelombang Umum: Sebuah Dekomposisi Universal

Solusi untuk atom hidrogen dibangun di atas kombinasi eksponensial (

$e^{-r}$

e-r) dan suku-suku polinomial. Struktur ini merupakan hal yang khas dalam pemodelan gelombang atau medan. Ide utama dalam fisika matematika adalah bahwa semua gelombang atau medan dapat diuraikan menjadi jumlah eksponensial yang kompleks, mirip dengan deret Fourier.

4. Dekomposisi Gelombang menjadi Eksponensial

Penguraian suatu fungsi atau gelombang

$f (r)$

f(r) dapat digeneralisasi sebagai jumlah atau integral dari bentuk tersebut:

$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$

f (r) = ∫ A (k) e – krdk

dimana:

$A (k)$
A(k) adalah amplitudo yang bergantung pada

$k$
k,
$e^{-kr}$
e-kr merupakan komponen dasar.

Ide ini analog dengan deret Fourier, di mana fungsi periodik dinyatakan sebagai jumlah dari

$e^{iomega t}$

eiωt, tetapi di sini kita menangani fungsi non-periodik atau fungsi lokal.

Dalam BeeTheory, prinsip ini digeneralisasi untuk menggambarkan gelombang atau medan apa pun menggunakan istilah-istilah dalam bentuk

$A e^{-kr}$

Ae-kr, tidak hanya mencakup solusi kuantum seperti atom hidrogen, tetapi juga model gravitasi atau interaksi fundamental.

Teori Lebah dan Penjumlahan

$e^{-R}$

e-R

Dalam BeeTheory, ide utamanya adalah memperluas dekomposisi ini ke semua interaksi seperti gelombang. Kita tahu itu:

Gelombang elektromagnetik (solusi persamaan Maxwell) terurai menjadi harmonik bola dan eksponensial.
Solusi kuantum untuk atom sudah menggunakan basis eksponensial seperti
$e^{-r/a}$
e-r/a.
Interaksi dan potensi gravitasi seperti Yukawa (dalam fisika partikel) dimodelkan dengan peluruhan eksponensial.

5. Tautan Universal: Setiap Gelombang sebagai Superposisi

BeeTheory mengusulkan bahwa setiap interaksi seperti gelombang (baik itu elektromagnetik, gravitasi, atau lainnya) dapat dimodelkan sebagai jumlah istilah

$A e^{-R}$

Ae-R, di mana

$R$

R menggeneralisasi jarak atau koordinat:

$Phi(R) = jumlah_{i} A_i e^{-k_i R}$

Φ(R) = i∑Aie-kiR

Pendekatan ini:

Menyatukan solusi klasik (Maxwell, Schrödinger) dan solusi modern (potensi yang disaring seperti Yukawa),
Memberikan visi yang disederhanakan tentang interaksi fundamental,
Menawarkan kerangka kerja untuk mensimulasikan atau menggambarkan fenomena yang kompleks.

6. Meluas ke Semua Gelombang

Gravitasi: Dalam kerangka kerja kuantum, potensial gravitasi dapat dilihat sebagai jumlah dari
$e^{-R}$
suku e-R (model penyaringan gravitasi).
Fisika Kuantum: Keadaan kuantum, seperti yang ada dalam atom hidrogen, sudah menunjukkan dasar eksponensial ini.
Kosmologi: Fluktuasi latar belakang gelombang mikro kosmik atau gelombang gravitasi dapat diekspresikan dengan menggunakan istilah eksponensial.

Dengan menyatukan model interaksi melalui jumlah e-Re^{-R}e-R, BeeTheory menawarkan kerangka kerja umum untuk memodelkan semua bentuk gelombang, baik dalam konteks kuantum, klasik, maupun kosmologis.

Jika Anda ingin mendalami teori ini lebih dalam atau mengeksplorasi aplikasinya, BeeTheory dirancang untuk menyediakan alat pemodelan yang mudah diakses dan kuat untuk menyatukan fenomena fisik di bawah kerangka kerja berbasis gelombang yang umum.