Risoluzione dell’equazione di Schrödinger per l’atomo di idrogeno

L’atomo di idrogeno è un sistema centrale della fisica quantistica, spesso utilizzato come modello per comprendere la struttura elettronica degli atomi. La soluzione dell’equazione di Schrödinger per questo atomo si basa sulla simmetria sferica del problema e sul potenziale di Coulomb tra il protone (nucleo) e l’elettrone.

1. Equazione di Schrödinger nel potenziale di Coulomb

L’equazione di Schrödinger per una particella di massa

$m$

m in un potenziale centrale

$V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$

V(r)=-4πϵ0re2 è dato da:

$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$

-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

In coordinate sferiche, a causa della simmetria radiale, la funzione d’onda

$psi(r, theta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ) può essere separato come:

$psi(r, theta, phi) = R(r) Y_l^m(theta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

dove:

$R(r)$
R(r) è la parte radiale della funzione d’onda, che dipende solo dalla distanza

$r$
r,
$Y_l^m(theta, phi)$
Ylm(θ,ϕ) sono le armoniche sferiche dipendenti dagli angoli

$teta$
θ e

$phi$
ϕ,
$l$
l è il numero quantico orbitale, e

$m$
m il suo sottolivello magnetico.

La parte radiale soddisfa un’equazione differenziale indipendente:

$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} sinistra( r^2 frac{dR}{dr} destra) + sinistra[ frac{2m}{hbar^2} sinistra( E – V(r) destra) – frac{l(l+1)}{r^2} destra] R(r) = 0$

r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

2. Risolvere l’equazione radiale

Per risolvere questa equazione, introduciamo la variabile adimensionale

$rho = frac{r}{a_0}$

ρ=a0r, dove

$a_0$

a0 è il raggio di Bohr:

$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$

a0=me24πϵ0ℏ2

La soluzione per

$R(r)$

R(r) è una combinazione di funzioni esponenziali e polinomi di Laguerre associati:

$R_{n,l}(r) = N_{n,l} rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$

Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

dove:

$n$
n è il numero quantico principale,
$l$
l è il numero quantico dell’orbitale,
$L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$
Ln-l-12l+1(ρ) sono polinomi di Laguerre associati,
$N_{n,l}$
Nn,l è una costante di normalizzazione.

Per lo stato fondamentale (

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0), la soluzione si semplifica in:

$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$

R1,0(r)=a032e−r/a0

3. Densità radiale e probabilità

La densità di probabilità radiale, che descrive la probabilità di trovare l’elettrone a una distanza

$r$

r, è dato da:

$P(r) = |R(r)|^2 r^2$

P(r)=∣R(r)∣2r2

Per

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0, questa densità di probabilità diventa:

$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$

P(r)=a034e−2r/a0r2

Questo mostra un decadimento esponenziale modulato da un fattore geometrico

$r^2$

r2. Questa combinazione riflette la dualità tra la localizzazione radiale dell’elettrone e la simmetria sferica.

Dall’atomo di idrogeno alle onde generali: Una decomposizione universale

La soluzione per l’atomo di idrogeno è costruita su una combinazione di esponenziali (

$e^{-r}$

e-r) e termini polinomiali. Questa struttura è tipica nella modellazione di onde o campi. Un’idea chiave della fisica matematica è che tutte le onde o i campi possono essere decomposti in somme di esponenziali complessi, simili alle serie di Fourier.

4. Decomposizione dell’onda in esponenziali

La decomposizione di una funzione o di un’onda

$f(r)$

f(r) può essere generalizzato come somme o integrali della forma:

$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$

f(r)=∫A(k)e-krdk

dove:

$A(k)$
A(k) è un’ampiezza dipendente da

$k$
k,
$e^{-kr}$
e-kr rappresenta un componente elementare.

Questa idea è analoga alla serie di Fourier, dove le funzioni periodiche sono espresse come somme di

$e^{iomega t}$

eiωt, ma qui trattiamo funzioni non periodiche o localizzate.

Nella Teoria delle Api, questo principio viene generalizzato per descrivere qualsiasi onda o campo utilizzando termini della forma

$A e^{-kr}$

Ae-kr, che comprende non solo soluzioni quantistiche come quelle dell’atomo di idrogeno, ma anche modelli di gravità o interazioni fondamentali.

Teoria delle api e sommatorie di

$e^{-R}$

e-R

Nella BeeTheory, l’idea centrale è quella di estendere questa decomposizione a tutte le interazioni ondulatorie. Sappiamo che:

Le onde elettromagnetiche (soluzioni delle equazioni di Maxwell) si decompongono in armoniche sferiche ed esponenziali.
Le soluzioni quantistiche per gli atomi utilizzano già basi esponenziali come
$e^{-r/a}$
e-r/a.
Le interazioni gravitazionali e i potenziali come quello di Yukawa (nella fisica delle particelle) sono modellati con decadimenti esponenziali.

5. Il legame universale: Qualsiasi onda come sovrapposizione

La Teoria delle Api propone che qualsiasi interazione di tipo ondulatorio (sia essa elettromagnetica, gravitazionale o di altro tipo) possa essere modellata come una somma di termini

$A e^{-R}$

Ae-R, dove

$R$

R generalizza la distanza o una coordinata:

$Phi(R) = somma_{i} A_i e^{-k_i R}$

Φ(R)=i∑Aie-kiR

Questo approccio:

Unifica le soluzioni classiche (Maxwell, Schrödinger) e quelle moderne (potenziali schermati come Yukawa),
Fornisce una visione semplificata delle interazioni fondamentali,
Offre un quadro per simulare o descrivere fenomeni complessi.

6. Estensione a tutte le onde

Gravità: Nei quadri quantistici, il potenziale gravitazionale può essere visto come una somma di
$e^{-R}$
e-R (un modello di schermatura gravitazionale).
Fisica quantistica: Gli stati quantistici, come quelli dell’atomo di idrogeno, dimostrano già questa base esponenziale.
Cosmologia: Le fluttuazioni dello sfondo cosmico a microonde o delle onde gravitazionali possono essere espresse con termini esponenziali.

Unificando i modelli di interazione attraverso le somme di e-Re^{-R}e-R, la Teoria delle Api offre un quadro generale per modellare tutte le forme di onde, sia in un contesto quantistico, classico o cosmologico.

Se desidera approfondire questa teoria o esplorare le sue applicazioni, BeeTheory è stata progettata per fornire strumenti di modellazione accessibili e potenti per unificare i fenomeni fisici in un quadro comune basato sulle onde.