水素原子のシュレーディンガー方程式を解く

水素原子は量子物理学の中心的な系であり、原子の電子構造を理解するためのモデルとしてよく用いられます。この原子のシュレーディンガー方程式を解くには、問題の球対称性と陽子（原子核）と電子の間のクーロンポテンシャルに依存します。

1.クーロンポテンシャルにおけるシュレーディンガー方程式

質量 $m$ m の粒子のシュレーディンガー方程式 $V(r) = -frac{e^2}{4π epsilon_0 r} です。$ V(r)=-4πϵ0re2 は次式で与えられます：

$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$ -2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

球座標では、半径対称性のため、波動関数 $ψ(r,θ,φ)$ ψ(r,θ,φ) は次のように分離できます：

$psi(r, θ, phi) = R(r) Y_l^m(θ, phi)$ ψ(r,θ,φ)=R(r)Ylm(θ,φ)

ここで

$R(r)$ R(r)は波動関数の半径部分であり、距離 $r$ r,
$Y_l^m(θ, phi)$ Ylm(θ,φ)は、角度に依存する球面ハーモニクスです。 $θ$ θ および $φ$ ϕ,
$l$ l は軌道量子数、そして $m$ mは磁気サブレベル。

半径部分は独立微分方程式を満たします：

$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} left( r^2 frac{dR}{dr} right) + left[ frac{2m}{hbar^2} left( E – V(r) right) – frac{l(l+1)}{r^2} right] R(r) = 0$ r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

2.放射方程式を解く

この方程式を解くために、無次元変数 $rho = frac{r}{a_0}$ ρ=a0r, ここで $a_0$ a0はボーア半径：

$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}.$ a0=me24πϵ0ℏ2

の解は $R(r)$ R(r)は指数関数と関連するラゲール多項式の組み合わせです：

$R_{n,l}(r) = N_{n,l}.rho^l e^{-rho / n}L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$ Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

ここで

$n$ nは主量子数
$l$ l は軌道量子数
$L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$ Ln-l-12l+1(ρ)は関連するラゲール多項式です、
$N_{n,l}$ Nn,l は正規化定数。

基底状態( $n = 1, l = 0$ n=1,l=0)、解は次のように単純化されます：

$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}.$ R1,0(r)=a032e−r/a0

3.半径方向密度と確率

半径方向の確率密度は、距離 $r$ rで電子が見つかる可能性を表す半径方向の確率密度は

$P(r) = |R(r)|^2 r^2$ P(r)=∣R(r)∣2r2

に対して $n = 1, l = 0$ n=1,l=0 のとき、この確率密度は次のようになります：

$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$ P(r)=a034e−2r/a0r2

これは、幾何学的な係数で変調された指数関数的な減衰を示しています。 $r^2$ r2.この組み合わせは、電子の半径方向の局在性と球対称性の二重性を反映しています。

水素原子から一般波動まで：普遍的な分解

水素原子の解は、指数関数( $e^{-r}$ e-r)と多項式の組み合わせで構成されています。この構造は波動や場のモデリングでは典型的です。数理物理学の重要な考え方は、すべての波動や場はフーリエ級数に似た複素指数の和に分解できるということです。

4.波動の指数分解

関数または波の分解 $f(r)$ f(r)は、次の形式の和または積分として一般化できます：

$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$ f(r)=∫A(k)e-krdk

ここで

$A(k)$ A(k) は $k$ k,
$e^{-kr}$ e-krは素成分を表します。

この考え方はフーリエ級数に類似しており、周期関数は $e^{iomega t}$ eiωt, しかしここでは非周期的あるいは局所的な関数を扱います。

BeeTheoryでは、この原理は一般化され、波や場を記述するのに使われます。 $A e^{-kr}$ Ae-kr}は、水素原子のような量子解だけでなく、重力や基本的な相互作用のモデルも含みます。

のビー理論と和 $e^{-R}$ e-R

BeeTheoryでは、この分解をすべての波動的相互作用に拡張することが中心的なアイデアです。私たちは次のことを知っています：

電磁波（マクスウェル方程式の解）は、球面調和と指数に分解されます。
原子の量子解はすでに次のような指数基底を使っています。 $e^{-r/a}$ e-r/a。
重力相互作用や（素粒子物理学の）湯川のようなポテンシャルは指数関数的減衰でモデル化されます。

5.ユニバーサルリンク：重ね合わせとしての波動

BeeTheoryは、波のような相互作用（それが電磁波であれ、重力であれ、それ以外であれ）は、以下の項の和としてモデル化できると提案しています。 $A e^{-R}$ Ae-R, ここで $R$ Rは距離または座標を一般化したものです：

$ファイ(R) = sum_{i}A_i e^{-k_i R}$ Φ(R)=i∑Aie-kiR

このアプローチは

古典的な解（マクスウェル、シュレーディンガー）と現代的な解（湯川のようなスクリーンされたポテンシャル）の統合、
基本的な相互作用の単純化されたビジョンを提供します、
複雑な現象のシミュレーションや記述のための枠組みを提供。

6.すべての波動への拡張

重力：量子の枠組みでは、重力ポテンシャルは $e^{-R}$ e-R項（重力スクリーニングモデル）の和とみなすことができます。
量子物理学：水素原子のような量子状態は、すでにこの指数関数的な基礎を実証しています。
宇宙論：宇宙マイクロ波背景や重力波のゆらぎは指数項を使って表現できます。

相互作用モデルを $e^{-R}$ e-R}の和によって相互作用モデルを統一することで、BeeTheoryは、量子、古典、宇宙論に関わらず、あらゆる形の波をモデル化するための一般的なフレームワークを提供します。

BeeTheoryは、物理現象を波動ベースの共通のフレームワークで統一するための、アクセスしやすく強力なモデリング・ツールを提供するように設計されています。