수소 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식 풀기

수소 원자는 양자 물리학의 중심 시스템으로, 원자의 전자 구조를 이해하기 위한 모델로 자주 사용됩니다. 이 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀려면 문제의 구대칭과 양성자(핵)와 전자 사이의 쿨롱 포텐셜을 이용해야 합니다.

1. 쿨롱 전위의 슈뢰딩거 방정식

질량 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식 $m$ 중심 전위에서 m $V(r) = -frac{e^2}{4pi 엡실론_0 r}$ V(r)=-4πϵ0re2는 다음과 같이 주어집니다:

$-frac{hbar^2}{2m} 나블라^2 psi + V(r)psi = Epsi$ -2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

구면 좌표에서 방사형 대칭으로 인해 파동 함수 $psi(r, 세타, 파이)$ ψ(r,θ,ϕ)는 다음과 같이 구분할 수 있습니다:

$psi(r, 세타, 파이) = R(r) Y_l^m(세타, 파이)$ ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

여기서

$R(r)$ R(r)은 거리에만 의존하는 파동 함수의 방사형 부분입니다. $r$ r,
$Y_l^m(세타, 파이)$ Ylm(θ, ϕ)은 각도에 따라 달라지는 구형 고조파입니다. $theta$ θ 및 $phi$ ϕ,
$l$ l은 궤도 양자 수, 그리고 $m$ m은 자기 하위 레벨입니다.

방사형 부분은 독립 미분 방정식을 만족합니다:

$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} 왼쪽( r^2 frac{dR}{dr} 오른쪽) + 왼쪽[ frac{2m}{hbar^2} 왼쪽( E – V(r) 오른쪽) – frac{l(l+1)}{r^2} 오른쪽] R(r) = 0$ r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

2. 방사형 방정식 풀기

이 방정식을 풀기 위해 무차원 변수인 $rho = frac{r}{a_0}$ ρ=a0r, 여기서 $a_0$ a0은 보어 반경입니다:

$A_0 = FRAC{4PI EPSILON_0 HAR^2}{ME^2}$ a0=me24πϵ0ℏ2

에 대한 솔루션 $R(r)$ R(r)은 지수 함수와 관련 라구에르 다항식의 조합입니다:

$R_{n,l}(r) = N_{n,l} , rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$ Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

여기서

$n$ n은 주요 양자 수입니다,
$l$ 는 궤도 양자 수입니다,
$L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$ Ln-l-12l+1(ρ)은 연관된 라구에르 다항식입니다,
$N_{n,l}$ Nn,l은 정규화 상수입니다.

접지 상태의 경우( $n = 1, l = 0$ n=1,l=0), 해는 다음과 같이 단순화됩니다:

$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$ R1,0(r)=a032e−r/a0

3. 방사형 밀도 및 확률

원거리에서 전자를 찾을 가능성을 설명하는 방사형 확률 밀도는 다음과 같습니다. $r$ r은 다음과 같이 주어집니다:

$P(r) = |R(r)|^2 r^2$ P(r)=∣R(r)∣2r2

For $n = 1, l = 0$ n=1,l=0인 경우, 이 확률 밀도는 다음과 같습니다:

$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$ P(r)=a034e−2r/a0r2

이것은 기하학적 계수에 의해 변조된 지수 감쇠를 보여줍니다. $r^2$ r2. 이 조합은 전자의 방사형 국소화와 구형 대칭 사이의 이중성을 반영합니다.

수소 원자에서 일반 파동까지: 보편적인 분해

수소 원자에 대한 솔루션은 지수( $e^{-r}$ e-r)와 다항식 항의 조합으로 이루어집니다. 이 구조는 파동 또는 필드 모델링에서 일반적입니다. 수학 물리학의 핵심 아이디어는 모든 파동이나 장이 푸리에 급수와 유사한 복소 지수 합으로 분해될 수 있다는 것입니다.

4. 파동을 지수로 분해하기

함수 또는 파동의 분해 $f(r)$ f(r)은 합 또는 적분 형식으로 일반화할 수 있습니다:

$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$ f(r)=∫A(k)e-krdk

여기서

$A(k)$ A(k)는 다음에 따라 달라지는 진폭입니다. $k$ k,
$e^{-kr}$ e-kr은 기본 구성 요소를 나타냅니다.

이 개념은 푸리에 급수와 유사하며, 주기 함수는 다음과 같은 합으로 표현됩니다. $e^{이오메가 t}$ 이지만 여기서는 비주기적이거나 국소화된 함수를 다룹니다.

BeeTheory에서는 이 원리를 일반화하여 다음과 같은 형태의 용어를 사용하여 모든 파동이나 필드를 설명합니다. $A e^{-kr}$ 수소 원자와 같은 양자 해법뿐만 아니라 중력이나 근본적인 상호작용에 대한 모델도 포괄하는 Ae-kr입니다.

벌 이론과 $e^{-R}$ e-R

꿀벌 이론의 핵심 아이디어는 이 분해를 모든 파동과 같은 상호작용으로 확장하는 것입니다. 우리는 그것을 알고 있습니다:

전자기파(맥스웰 방정식의 해)는 구형 고조파와 지수로 분해됩니다.
원자에 대한 양자 솔루션은 이미 다음과 같은 지수 기저를 사용합니다. $e^{-r/a}$ e-r/a.
입자 물리학에서 유카와와 같은 중력 상호작용과 포텐셜은 지수 붕괴로 모델링됩니다.

5. 유니버설 링크: 중첩으로서의 모든 파동

벌이론은 전자기, 중력 등 모든 파동과 같은 상호작용을 다음과 같은 항의 합으로 모델링할 수 있다고 제안합니다. $A e^{-R}$ Ae-R, 여기서 $R$ R은 거리 또는 좌표를 일반화합니다:

$Phi(R) = sum_{i} A_i e^{-k_i R}$ Φ(R)=i∑Aie-kiR

이 접근 방식:

고전적 솔루션(맥스웰, 슈뢰딩거)과 현대적 솔루션(유카와 같은 스크린 전위)을 통합합니다,
근본적인 상호 작용에 대한 단순화된 시각을 제공합니다,
복잡한 현상을 시뮬레이션하거나 설명할 수 있는 프레임워크를 제공합니다.

6. 모든 파동으로 확장

중력: 양자 프레임워크에서 중력 포텐셜은 다음의 합으로 볼 수 있습니다. $e^{-R}$ e-R 항(중력 스크리닝 모델)의 합으로 볼 수 있습니다.
양자 물리학: 수소 원자의 상태와 같은 양자 상태는 이미 이러한 기하급수적 기초를 입증하고 있습니다.
우주론: 우주 마이크로파 배경이나 중력파의 변동을 지수식으로 표현할 수 있습니다.

상호 작용 모델을 다음과 같은 합을 통해 통합함으로써 $e^{-R}$ e-R의 합을 통해 모든 형태의 파동을 모델링할 수 있는 일반적인 프레임워크를 제공하는 BeeTheory는 양자, 고전, 우주론적 맥락에 관계없이 모든 형태의 파동을 모델링할 수 있습니다.

이 이론에 대해 더 자세히 알아보고 싶거나 응용 분야를 탐구하고 싶다면, BeeTheory는 물리 현상을 공통의 파동 기반 프레임워크 아래 통합할 수 있는 접근 가능하고 강력한 모델링 도구를 제공하도록 설계되었습니다.