De Schrödingervergelijking voor het waterstofatoom oplossen

Het waterstofatoom is een centraal systeem in de kwantumfysica en wordt vaak gebruikt als model om de elektronische structuur van atomen te begrijpen. Het oplossen van de Schrödingervergelijking voor dit atoom berust op de sferische symmetrie van het probleem en de Coulomb-potentiaal tussen het proton (kern) en het elektron.

1. Schrödingervergelijking in het coulombpotentiaal

De Schrödingervergelijking voor een deeltje met massa

$m$

m in een centrale potentiaal

$V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$

V(r)=-4πϵ0re2 wordt gegeven door:

$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$

-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

In sferische coördinaten, vanwege de radiale symmetrie, is de golffunctie

$psi(r, theta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ) kan worden gescheiden als:

$psi(r, theta, phi) = R(r) Y_l^m(theta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

waar:

$R(r)$
R(r) is het radiale deel van de golffunctie, alleen afhankelijk van de afstand

$r$
r,
$Y_l^m(theta, phi)$
Ylm(θ,ϕ) zijn de sferische harmonischen afhankelijk van hoeken

$theta$
θ en

$phi$
ϕ,
$l$
l het orbitale kwantumnummer is, en

$m$
m het magnetische subniveau.

Het radiale deel voldoet aan een onafhankelijke differentiaalvergelijking:

$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} links( r^2 frac{dR}{dr} rechts) + links[ frac{2m}{hbar^2} links( E – V(r) rechts) – frac{l(l+1)}{r^2} rechts] R(r) = 0$

r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

2. De radiaalvergelijking oplossen

Om deze vergelijking op te lossen, introduceren we de dimensieloze variabele

$rho = frac{r}{a_0}$

ρ=a0r, waarbij

$a_0$

a0 is de Bohr-straal:

$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$

a0=me24πϵ0ℏ2

De oplossing voor

$R(r)$

R(r) is een combinatie van exponentiële functies en bijbehorende Laguerre-polynomen:

$R_{n,l}(r) = N_{n,l} , rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$

Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

waar:

$n$
n is het hoofdkwantumnummer,
$l$
l is het orbitale kwantumnummer,
$L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$
Ln-l-12l+1(ρ) zijn bijbehorende Laguerre-polynomen,
$N_{n,l}$
Nn,l is een normalisatieconstante.

Voor de grondtoestand (

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0), vereenvoudigt de oplossing tot:

$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$

R1,0(r)=a032e−r/a0

3. Radiale dichtheid en waarschijnlijkheid

De radiale waarschijnlijkheidsdichtheid, die de waarschijnlijkheid beschrijft om het elektron te vinden op een afstand

$r$

r, wordt gegeven door:

$P(r) = |R(r)|^2 r^2$

P(r)=∣R(r)∣2r2

Voor

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0, wordt deze waarschijnlijkheidsdichtheid:

$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$

P(r)=a034e−2r/a0r2

Dit toont een exponentieel verval gemoduleerd door een geometrische factor

$r^2$

r2. Deze combinatie weerspiegelt de dualiteit tussen de radiale lokalisatie van het elektron en sferische symmetrie.

Van het waterstofatoom tot algemene golven: Een universele ontleding

De oplossing voor het waterstofatoom is gebaseerd op een combinatie van exponentialen (

$e^{-r}$

e-r) en polynomiale termen. Deze structuur is typisch voor golf- of veldmodellering. Een belangrijk idee in de mathematische fysica is dat alle golven of velden kunnen worden ontleed in sommen complexe exponentialen, vergelijkbaar met Fourier-reeksen.

4. Golfdecompositie in exponentiële getallen

De decompositie van een functie of golf

$f(r)$

f(r) kan gegeneraliseerd worden als sommen of integralen van de vorm:

$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$

f(r)=∫A(k)e-krdk

waar:

$A(k)$
A(k) is een amplitude die afhankelijk is van

$k$
k,
$e^{-kr}$
e-kr staat voor een elementaire component.

Dit idee is analoog aan Fourier-reeksen, waarbij periodieke functies worden uitgedrukt als sommen van

$e^{iomega t}$

eiωt, maar hier behandelen we niet-periodieke of gelokaliseerde functies.

In de Bijentheorie wordt dit principe veralgemeend om elke golf of elk veld te beschrijven met termen van de vorm

$A e^{-kr}$

Ae-kr, die niet alleen kwantumoplossingen zoals die van het waterstofatoom omvat, maar ook modellen voor zwaartekracht of fundamentele interacties.

Bijentheorie en samenvattingen van

$e^{-R}$

e-R

In BeeTheory is het centrale idee om deze decompositie uit te breiden naar alle golfachtige interacties. We weten dat:

Elektromagnetische golven (oplossingen van de vergelijkingen van Maxwell) vallen uiteen in sferische harmonischen en exponentialen.
Kwantumoplossingen voor atomen gebruiken al exponentiële bases zoals
$e^{-r/a}$
e-r/a.
Gravitationele interacties en potentialen zoals die van Yukawa (in de deeltjesfysica) worden gemodelleerd met exponentiële vervaldata.

5. De Universele Verbinding: Elke golf als superpositie

De Bijentheorie stelt voor dat elke golfachtige interactie (elektromagnetisch, gravitationeel of anderszins) kan worden gemodelleerd als een som van termen

$A e^{-R}$

Ae-R, waarbij

$R$

R veralgemeent afstand of een coördinaat:

$Phi(R) = som_{i} A_i e^{-k_i R}$

Φ(R)=i∑Aie-kiR

Deze aanpak:

Verenigt klassieke oplossingen (Maxwell, Schrödinger) en moderne (afgeschermde potentialen zoals Yukawa),
Biedt een vereenvoudigde visie op fundamentele interacties,
Biedt een raamwerk om complexe fenomenen te simuleren of te beschrijven.

6. Uitbreiden naar alle golven

Zwaartekracht: In kwantumraamwerken kan de zwaartekrachtpotentiaal gezien worden als een som van
$e^{-R}$
e-R termen (een gravitationeel schermmodel).
Kwantumfysica: Kwantumtoestanden, zoals die in het waterstofatoom, laten deze exponentiële basis al zien.
Kosmologie: Fluctuaties in de kosmische microgolfachtergrond of gravitatiegolven kunnen worden uitgedrukt met exponentiële termen.

Door interactiemodellen te verenigen via sommen van e-Re^{-R}e-R, biedt BeeTheory een algemeen kader voor het modelleren van alle vormen van golven, zowel in een kwantum-, klassieke als kosmologische context.

Als u dieper in deze theorie wilt duiken of de toepassingen ervan wilt verkennen, dan is BeeTheory ontworpen om toegankelijke en krachtige modelleerhulpmiddelen te bieden om fysische verschijnselen te verenigen onder een gemeenschappelijk, op golven gebaseerd raamwerk.