Matematisk sammanfattning: Gravitationsinteraktionsmodell

BeeTheory Matematisk sammanfattning: Gravitationsinteraktionsmodell

Bee-teori: Utforska ett nytt perspektiv på gravitation

Bee-Theory-projektet undersöker en ny teori om gravitation, som föreslår att gravitationskrafter uppstår genom summering av två partiklars vågfunktioner. Detta koncept innebär att summan av två radiella exp(-x)-termer från Schrödingerekvationen genererar en attraktionskraft med en potential som är proportionell mot $1/D$ 1/D och en kraft som är proportionell mot $1/D^2$ 1/D2.

Viktiga milstolpar

2015: Projektstart.
2016: Formalisering av de första idéerna.
2023: Matematisk teori utvecklas med hjälp av sfäriska koordinater och Laplacianen för två partiklar, i samarbete med ChatGPT.

Möjligheter till samarbete

Bee-Theory söker avancerade granskare och samarbetspartners för att utvärdera och förfina sitt teoretiska ramverk.

Resurser

Engelsk sammanfattning och första matematiska granskningen:
20231226_BeeTheory_v2_EN
Sammanfattning på franska / Première Formalisation Mathématique:
20231226_BeeTheory_v2
Grundläggande presentation:
Bee-teori_v3-6

För mer information, besök den officiella webbplatsen

Kontakta oss för att bidra med din expertis och hjälpa till att främja detta banbrytande projekt.

Vi betraktar två elementarpartiklar ( A_0 ) och ( B_0 ) som modelleras av vågfunktioner som vi summerar:

[
Psi(x, y, z, t) = Psi(A, t) + Psi(B, t)
]

[
Psi(x, y, z, t) = A cdot e^{-alpha({x, y, z} – A_0)} cdot e^{iomega_1 t} + B cdot e^{-beta({x, y, z} – B_0)} cdot e^{iomega_2 t}
]

Vi ändrar referensramen till sfäriska koordinater:

[
Psi(R, t) = A cdot e^{-alpha(R_A-A_0)} cdot e^{iomega_1 t} + B cdot e^{-beta(R_B-B_0)} cdot e^{iomega_2 t}
]

Positionerna för partiklarna ( A_0 ) och ( B_0 ) anses vara fasta på den aktuella tidsskalan. Vi fokuserar runt den andra partikeln ( B_0 ):

[
Psi(R, t) = Psi(R_B + r, t)
]

[
R_A = R_{A0B0} + r, kvad R_B = r, kvad r text{ är liten}.
]

[
Psi(R, t) = A cdot e^{-alpha(R_{A0B0} + r)} cdot e^{iomega_1(t+d_1)} + B cdot e^{-beta r} cdot e^{iomega_2(t+d_2)}
]

Vi tillämpar Schrödingerekvationen, med tanke på att det bara finns kinetisk energi och ingen potentiell energi. ( V ) är noll överallt.

[
ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R,t) = T + V = T
]

[
ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R,t) = -2mhbar^2 nabla^2 Psi(R, t)
]

Vi positionerar oss vid ( B_0 ) och förenklar genom att endast beräkna den första termen relaterad till ( A ), termen relaterad till ( B ) är noll vid ( B_0 ); vi extraherar termen i ( R_{A0B0} ) som är en konstant:

[
ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R,t) = -2mhbar^2 nabla^2(A e^{-alpha R_{A0B0}} cdot e^{-alpha cdot r/R_{A0B0}}))
]

Använda Laplacianen i sfäriska koordinater för en funktion som endast beror på ( r ):

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr} (r^2 frac{df}{dr}))
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr} (r^2 cdot frac{d}{dr} e^{-alpha cdot r/R_{A0B0}})
]

[
r^2 cdot frac{d}{dr} psi(r) = r^2 cdot frac{d}{dr} (e^{-alpha r/R_{A0B0}}) = r^2 cdot (-alpha r/R_{A0B0}) cdot e^{-alpha r/R_{A0B0}}}}
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr}(r^2 cdot -alpha r/R_{A0B0} cdot e^{-alpha r/R_{A0B0}})
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} cdot -alpha/R_{A0B0} cdot frac{d}{dr}(r^3 cdot e^{-alpha r/R_{A0B0}})
]

Med tanke på att ( R_{A0B0} ) är stort och ( r ) är mycket litet:

[
nabla^2 f(r) approx -3alpha/R_{A0B0}
]

Därför får vi en potential som är proportionell mot inversen av avståndet mellan partiklarna.

Inom kvantmekaniken innebär beskrivningen av partiklar som vågfunktioner en fundamental förändring jämfört med den klassiska fysiken, där partiklar vanligtvis behandlas som diskreta enheter med bestämda positioner och hastigheter. Denna konceptuella övergång till våg-partikel-dualitet möjliggör en mer omfattande förståelse av beteendet hos subatomära partiklar, t.ex. elektroner och fotoner, särskilt när det gäller deras interaktioner, spridning och effekterna av inneslutning på deras kvanttillstånd.

Enligt kvantmekaniken har varje partikel en vågfunktion, som ger en probabilistisk beskrivning av dess kvanttillstånd som en funktion av position och tid. Vågfunktionen, ofta benämnd Ψ (Psi), innehåller all information om en partikels kvanttillstånd och är grundläggande för att förutsäga hur detta tillstånd utvecklas över tiden enligt Schrödingerekvationen.

Denna introduktion fördjupar sig i den matematiska modelleringen av vågfunktioner för två elementarpartiklar och utforskar deras summa och interaktioner genom ett omfattande matematiskt ramverk. Dessa partiklar modelleras på ett sätt som gör att vi kan undersöka deras dynamik under olika transformationer, t.ex. byte av koordinatsystem, och interaktioner inom ramen för icke-relativistisk kvantmekanik.

Matematisk representation av vågfunktioner

Standardformen för en vågfunktion för en partikel i kvantmekaniken är komplexvärderad och innehåller både en amplitud och en fas. Denna funktion är en lösning på Schrödingerekvationen, som beskriver hur vågfunktionen utvecklas i tid och rum. Ekvationen är linjär, vilket möjliggör superposition av lösningar, vilket innebär att om två vågfunktioner är lösningar, är deras summa också en lösning. Denna princip ligger till grund för vårt sätt att modellera interaktioner mellan partiklar med hjälp av deras respektive vågfunktioner.

Modellering av partikelinteraktioner

I vår modell betraktar vi två partiklar, betecknade som $𝐴_{0}$ A0 och $𝐵_{0}$ B0, som var och en beskrivs av sin vågfunktion. Det övergripande systemet beskrivs sedan av superpositionen av dessa vågfunktioner, vilket leder till en kombinerad vågfunktion som ger ett fält av sannolikhetsamplituder. Genom att analysera dessa superpositioner kan vi förstå hur partiklar påverkar varandras kvanttillstånd genom fenomen som interferens och sammanflätning.

Övergång till sfäriska koordinater

Vid analys av kvantsystem kan valet av ett lämpligt koordinatsystem avsevärt förenkla den matematiska behandlingen, särskilt när det handlar om sfäriskt symmetriska system som atomer eller sfäriska potentialbrunnar. Genom att övergå till sfäriska koordinater kan vi mer effektivt beskriva systemets radiella beroenden och vinkelmomentegenskaper. Denna koordinattransformation är avgörande när det fysiska systemets naturliga symmetri överensstämmer med sfäriska koordinater, vilket ofta är fallet i atomära och molekylära system.

Fokus på kinetisk energi

I vår modell antar vi att den potentiella energin $𝑉$ V är noll, vilket innebär att vi enbart fokuserar på den kinetiska energikomponenten i kvantsystemet. Denna förenkling är vanlig i teoretiska behandlingar av fria partiklar eller för att illustrera grundläggande kvantmekaniska begrepp utan de komplicerande faktorer som potentiella energier utgör. Den kinetiska energioperatorn, betecknad som $𝑇$ T, blir då den primära drivkraften för den dynamik som beskrivs av vågfunktionen.

Avancerade matematiska tekniker

Användningen av avancerade matematiska tekniker som Laplacianen i sfäriska koordinater blir oumbärlig i vår analys. Med hjälp av dessa tekniker kan vi fördjupa oss i vågfunktionens differentiella aspekter och få insikter i hur förändringar i systemets rumsliga konfiguration påverkar partiklarnas beteende. I synnerhet Laplacianoperatorn spelar en nyckelroll när det gäller att bestämma hur vågfunktionens amplitud och fas utvecklas i rummet, vilket är direkt relaterat till systemets observerbara egenskaper, t.ex. fördelningen av positioner och moment.

Sammanfattningsvis lägger denna introduktion grunden för en detaljerad undersökning av den kvantmekaniska modelleringen av partikelinteraktioner. Genom att undersöka superpositionen av vågfunktioner och tillämpningen av Schrödingerekvationen i ett sammanhang som saknar potentiell energi, strävar vi efter att avslöja den nyanserade dynamiken hos elementarpartiklar i ett rent kinetiskt ramverk och därmed berika vår förståelse av kvantmekaniken och dess grundläggande principer.

Låt oss bryta ner de viktigaste komponenterna och sammanfatta den matematiska utvecklingen:

1. Vågfunktionsrepresentation

Två partiklar, $A_0$ A0 och $B_0$ B0, modelleras av sina vågfunktioner:

$Psi(x, y, z, t) = A e^{-alpha({x, y, z} – A_0)} e^{iomega_1 t}. + B e^{-beta({x, y, z} – B_0)} e^{iomega_2 t}.$ Ψ(x,y,z,t)=Ae-α({x,y,z}-A0)eiω1t+Be-β({x,y,z}-B0)eiω2t.

Denna representation förutsätter:

Amplitudvillkor ( $A, B$ A,B) och rumslig avklingning ( $e^{-alpha r}, e^{-beta r}$ e-αr,e-βr).
Oscillerande tidsberoende ( $e^{iomega t}$ eiωt) som är karakteristiska för kvanttillstånd.

2. Byte till sfäriska koordinater

Byte till sfäriska koordinater förenklar analysen av radiella beroenden, särskilt när man studerar lokaliserade interaktioner runt en partikel (t.ex, $B_0$ B0):

$Psi(R, t) = A e^{-alpha(R_{A_0B_0} + r)} e^{iomega_1(t+d_1)} + B e^{-beta r} e^{iomega_2(t+d_2)}.$ Ψ(R,t)=Ae-α(RA0B0+r)eiω1(t+d1)+Be-βreiω2(t+d2).

Här:

$R_{A_0B_0}$ RA0B0: Det fasta avståndet mellan partiklarna $A_0$ A0 och $B_0$ B0.
$r$ r: Den lilla avvikelsen från $B_0$ B0.

3. Tillämpning av Schrödingerekvationen

Förutsatt att ingen potentiell energi ( $V = 0$ V=0), kan operatorn för kinetisk energi ( $T$ T) styr vågfunktionens utveckling:

$ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R, t) = -frac{hbar^2}{2m} nabla^2 Psi(R, t).$ iℏ∂t∂Ψ(R,t)=-2mℏ2∇2Ψ(R,t).

Vi fokuserar på bidraget från $A$ A, förenklas den rumsliga termen till:

$Psi(R, t) sim A e^{-alpha R_{A_0B_0}} e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}}}.$ Ψ(R,t)∼Ae-αRA0B0e-αRA0B0r.

4. Laplacianen i sfäriska koordinater

Användning av Laplacianoperatorn för radiellt beroende funktioner:

$nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{partial}{partial r} left( r^2 frac{partial}{partial r} f(r) right),$ ∇2f(r)=r21∂r∂(r2∂r∂f(r)),

beräknar vi:

$f(r) = e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}}}.$ f(r)=e-αRA0B0r.

Steg för steg:

Beräkna $r^2 frac{partial}{partial r}$ r2∂r∂: $r^2 frac{partial}{partial r} left( e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}}} right) = r^2 left( -frac{alpha}{R_{A_0B_0}} e^{-alpha frac{r}{R_{A_0B_0}}} right).$ r2∂r∂(e-αRA0B0r)=r2(-RA0B0αe-αRA0B0r).
Differentiera igen: $nabla^2 f(r) approx -frac{3alpha}{R_{A_0B_0}}.$ ∇2f(r)≈-RA0B03α.

5. Framväxande invers avståndspotential

Laplacianen avslöjar att vågfunktionen genererar en term som är proportionell mot $frac{-1}{R_{A_0B_0}}$ RA0B0-1, vilket innebär en effektiv potential som är omvänt proportionell mot avståndet mellan partiklarna. Detta tyder på att gravitations- eller interaktionsliknande effekter uppstår naturligt ur kvantvågfunktionsformalismen.

Viktiga fysiska insikter

Vågfunktionsinteraktioner: Superpositionsprincipen gör det möjligt att modellera partikelinteraktioner, där interferensmönster kodar information om deras relativa positioner och dynamik.
Dominans av kinetisk energi: Genom att anta att det inte finns någon potentiell energi fokuseras analysen enbart på den rumsliga och tidsmässiga utvecklingen som drivs av kinetiska termer.
Gravitationell analogi: Förekomsten av en term för omvänt avstånd i vågfunktionens beteende antyder en kvantfundament för gravitationsliknande interaktioner, där vågegenskaper styr långväga effekter.

Framtida riktningar

Inkorporering av potentiell energi: Genom att lägga till en potentiell $V(r)$ V(r) kan förfina modellen genom att fånga upp externa krafter eller fält som verkar på partiklarna.
Relativistiska korrigeringar: För ett komplett kvantgravitationellt ramverk kan det vara nödvändigt att utvidga till relativistiska vågekvationer (t.ex. Klein-Gordon- eller Dirac-ekvationer).
Sammanflätning och icke-lokalitet: Genom att undersöka hur vågfunktioner påverkar varandra kan man utforska sammanflätning eller icke-lokala interaktionsmekanismer i gravitationen.

Detta matematiska ramverk utgör en språngbräda för att förstå kvantinteraktioner med en gravitationell tolkning, vilket potentiellt kan överbrygga kvantmekanik och klassisk gravitation.