Hidrojen Atomu için Schrödinger Denkleminin Çözümü

Hidrojen atomu, kuantum fiziğinde merkezi bir sistemdir ve genellikle atomların elektronik yapısını anlamak için bir model olarak kullanılır. Bu atom için Schrödinger denkleminin çözülmesi, problemin küresel simetrisine ve proton (çekirdek) ile elektron arasındaki Coulomb potansiyeline dayanır.

1. Coulomb Potansiyelinde Schrödinger Denklemi

Kütleli bir parçacık için Schrödinger denklemi

$m$

m merkezi bir potansiyel içinde

$V(r) = -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}$

V(r)=-4πϵ0re2 ile verilir:

$-frac{hbar^2}{2m} nabla^2 psi + V(r)psi = Epsi$

-2mℏ2∇2ψ+V(r)ψ=Eψ

Küresel koordinatlarda, radyal simetri nedeniyle, dalga fonksiyonu

$psi(r, teta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ) olarak ayrıştırılabilir:

$psi(r, teta, phi) = R(r) Y_l^m(teta, phi)$

ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Ylm(θ,ϕ)

Nerede?

$R(r)$
R(r), sadece mesafeye bağlı olarak dalga fonksiyonunun radyal kısmıdır

$r$
r,
$Y_l^m(teta, phi)$
Ylm(θ,ϕ) açılara bağlı küresel harmoniklerdir

$teta$
θ ve

$phi$
ϕ,
$l$
l orbital kuantum sayısıdır ve

$m$
m manyetik alt seviyesidir.

Radyal kısım bağımsız bir diferansiyel denklemi karşılar:

$frac{1}{r^2} frac{d}{dr} sol( r^2 frac{dR}{dr} sağ) + sol[ frac{2m}{hbar^2} sol( E – V(r) sağ) – frac{l(l+1)}{r^2} sağ] R(r) = 0$

r21drd(r2drdR)+[ℏ22m(E-V(r))-r2l(l+1)]R(r)=0

2. Radyal Denklemin Çözümü

Bu denklemi çözmek için boyutsuz değişkeni tanıtıyoruz

$rho = frac{r}{a_0}$

ρ=a0r, burada

$a_0$

a0 Bohr yarıçapıdır:

$a_0 = frac{4pi epsilon_0 hbar^2}{me^2}$

a0=me24πϵ0ℏ2

için çözüm

$R(r)$

R(r) üstel fonksiyonların ve ilişkili Laguerre polinomlarının bir kombinasyonudur:

$R_{n,l}(r) = N_{n,l} , rho^l e^{-rho / n} L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$

Rn,l(r)=Nn,lρle-ρ/nLn-l-12l+1(ρ)

Nerede?

$n$
n temel kuantum sayısıdır,
$l$
l orbital kuantum numarasıdır,
$L_{n-l-1}^{2l+1}(rho)$
Ln-l-12l+1(ρ) ilişkili Laguerre polinomlarıdır,
$N_{n,l}$
Nn,l bir normalleştirme sabitidir.

Temel durum için (

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0), çözüm şu şekilde basitleşir:

$R_{1,0}(r) = frac{2}{sqrt{a_0^3}} e^{-r / a_0}$

R1,0(r)=a032e−r/a0

3. Radyal Yoğunluk ve Olasılık

Elektronu belli bir mesafede bulma olasılığını tanımlayan radyal olasılık yoğunluğu

$r$

r, tarafından verilir:

$P(r) = |R(r)|^2 r^2$

P(r)=∣R(r)∣2r2

İçin

$n = 1, l = 0$

n=1,l=0, bu olasılık yoğunluğu olur:

$P(r) = frac{4}{a_0^3} e^{-2r / a_0} r^2$

P(r)=a034e−2r/a0r2

Bu, geometrik bir faktörle modüle edilmiş üstel bir düşüş gösterir

$r^2$

r2. Bu kombinasyon elektronun radyal lokalizasyonu ile küresel simetri arasındaki ikiliği yansıtmaktadır.

Hidrojen Atomundan Genel Dalgalara: Evrensel Bir Ayrıştırma

Hidrojen atomu için çözüm, üstellerin bir kombinasyonu üzerine kuruludur (

$e^{-r}$

e-r) ve polinom terimlerini içerir. Bu yapı dalga veya alan modellemesinde tipiktir. Matematiksel fizikteki anahtar fikir, tüm dalga veya alanların Fourier serilerine benzer şekilde karmaşık üstellerin toplamlarına ayrıştırılabileceğidir.

4. Dalgaların Üstellere Ayrıştırılması

Bir fonksiyonun veya dalganın ayrıştırılması

$f(r)$

f(r), formun toplamları veya integralleri olarak genelleştirilebilir:

$f(r) = int A(k) e^{-kr} , dk$

f(r)=∫A(k)e-krdk

Nerede?

$A(k)$
A(k), aşağıdakilere bağlı bir genliktir

$k$
k,
$e^{-kr}$
e-kr temel bir bileşeni temsil eder.

Bu fikir, periyodik fonksiyonların aşağıdakilerin toplamı olarak ifade edildiği Fourier serilerine benzer

$e^{iomega t}$

eiωt, ancak burada periyodik olmayan veya yerelleştirilmiş fonksiyonları ele alıyoruz.

Arı Teorisi‘nde bu ilke, aşağıdaki formdaki terimler kullanılarak herhangi bir dalga veya alanı tanımlamak için genelleştirilir

$A e^{-kr}$

Ae-kr, sadece hidrojen atomu gibi kuantum çözümlerini değil, aynı zamanda yerçekimi veya temel etkileşimler için modelleri de kapsar.

Arı Teorisi ve Toplamları

$e^{-R}$

e-R

BeeTheory’de ana fikir, bu ayrıştırmayı tüm dalga benzeri etkileşimlere genişletmektir. Bunu biliyoruz:

Elektromanyetik dalgalar (Maxwell denklemlerinin çözümleri) küresel harmoniklere ve üstellere ayrışır.
Atomlar için kuantum çözümleri zaten aşağıdaki gibi üstel tabanlar kullanmaktadır
$e^{-r/a}$
e-r/a.
Yerçekimi etkileşimleri ve Yukawa’nınki gibi potansiyeller (parçacık fiziğinde) üstel bozunumlarla modellenir.

5. Evrensel Bağlantı: Süperpozisyon Olarak Herhangi Bir Dalga

Arı Teorisi, herhangi bir dalga benzeri etkileşimin (elektromanyetik, yerçekimsel veya başka türlü) terimlerin bir toplamı olarak modellenebileceğini öne sürer

$A e^{-R}$

Ae-R, burada

$R$

R, mesafeyi veya bir koordinatı genelleştirir:

$Phi(R) = sum_{i} A_i e^{-k_i R}$

Φ(R)=i∑Aie-kiR

Bu yaklaşım:

Klasik çözümleri (Maxwell, Schrödinger) ve modern çözümleri (Yukawa gibi perdelenmiş potansiyeller) birleştirir,
Temel etkileşimlerin basitleştirilmiş bir vizyonunu sağlar,
Karmaşık olayları simüle etmek veya tanımlamak için bir çerçeve sunar.

6. Tüm Dalgalara Yayılma

Yerçekimi: Kuantum çerçevelerinde, yerçekimi potansiyeli aşağıdakilerin toplamı olarak görülebilir
$e^{-R}$
e-R terimleri (yerçekimsel perdeleme modeli).
Kuantum Fiziği: Hidrojen atomunda olduğu gibi kuantum durumları bu üstel temeli zaten göstermektedir.
Kozmoloji: Kozmik mikrodalga arka planındaki dalgalanmalar veya yerçekimi dalgaları üstel terimler kullanılarak ifade edilebilir.

Etkileşim modellerini e-Re^{-R}e-R toplamları aracılığıyla birleştiren BeeTheory, ister kuantum, ister klasik, ister kozmolojik bağlamda olsun, tüm dalga biçimlerini modellemek için genel bir çerçeve sunar.

Bu teoriyi daha derinlemesine incelemek veya uygulamalarını keşfetmek istiyorsanız BeeTheory, fiziksel olayları ortak bir dalga tabanlı çerçeve altında birleştirmek için erişilebilir ve güçlü modelleme araçları sağlamak üzere tasarlanmıştır.