数学摘要：重力相互作用模型

蜜蜂理论》数学摘要：重力相互作用模型

蜜蜂理论探索引力的新视角

蜜蜂理论项目研究了一种新的引力理论，提出引力来自两个粒子波函数的求和。这一概念表明，薛定谔方程中的两个径向 exp(-x) 项相加，会产生一种吸引力，其势能与以下值成正比 $1/D$ 1/D 和与 $1/D^2$ 1/D2.

重要里程碑

2015:项目启动。
2016:正式确定初步构想。
2023:与 ChatGPT 合作，利用两个粒子的球面坐标和拉普拉奇建立数学理论。

合作机会

Bee-Theory 寻求高级评审员和合作者，以评估和完善其理论框架。

资源

英文摘要和第一次数学评审：
20231226_BeeTheory_v2_EN
Résumé en Français / Première Formalisation Mathématique：
20231226_BeeTheory_v2
基本介绍：
蜜蜂理论_v3-6

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我们考虑两个基本粒子 ( A_0 ) 和 ( B_0 ) ，它们由波函数建模，我们将它们相加：

[
Psi(x, y, z, t) = Psi(A, t) + Psi(B, t)
]

[
Psi(x, y, z, t) = A cdot e^{-α({x, y, z} – A_0)} cdot e^{iomega_1 t}+ B cdot e^{-beta({x, y, z} – B_0)} cdot e^{iomega_2 t} ]。
]

我们将参照系改为球面坐标：

[
Psi(R, t) = A cdot e^{-α(R_A-A_0)} cdot e^{iomega_1 t}+ B cdot e^{-beta(R_B-B_0)} cdot e^{iomega_2 t} ] = Psi(R, t)
]

粒子 ( A_0 ) 和 ( B_0 ) 的位置在所考虑的时间尺度上是固定的。我们以第二个粒子 ( B_0 ) 为中心：

[
Psi(R, t) = Psi(R_B + r, t)
]

[
R_A = R_{A0B0}+ r, quad R_B = r, quad r text{ is small}.
]

[
Psi(R, t) = A cdot e^{-α(R_{A0B0} + r)} cdot e^{iomega_1(t+d_1)} + B cdot e^{-beta r} cdot e^{iomega_2(t+d_2)} ] [ R_A = R_{A0B0} + r= r
]

考虑到只有动能而没有势能，我们应用薛定谔方程。( V ) 在任何地方都是空的。

[
ihbar frac{partial}{partial t} Psi（R，tPsi(R,t) = T + V = T
]

[
ihbar frac{partial}{partial t} Psi(R,t) = -2mhbar^2 nabla^2Psi(R,t) = -2mhbar^2 nabla^2 Psi(R, t)
]

在 ( B_0 ) 处，我们简化计算，只计算与 ( A ) 有关的第一项，与 ( B ) 有关的一项在 ( B_0 ) 处为空；我们提取 ( R_{A0B0} ) 中的一项，它是一个常数：

[
ihbar frac{partial}{partial t} = Psi(R,t)Psi(R,t) = -2mhbar^2 nabla^2(A e^{-α R_{A0B0}} cdot e^{-α cdot r/R_{A0B0}})
]

使用球面坐标下的拉普拉斯函数计算一个只取决于 ( r ) 的函数：

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr} (r^2 frac{df}{dr})
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr} (r^2 cdot frac{d}{dr} e^{-α cdot r/R_{A0B0}})
]

[
r^2 cdot frac{d}{dr} psi(r) = r^2 cdot frac{d}{dr} (e^{-alpha r/R_{A0B0}}) = r^2 cdot (-alpha r/R_{A0B0}) cdot e^{-alpha r/R_{A0B0}}} ] [] [
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{d}{dr}(r^2 cdot -α r/R_{A0B0} cdot e^{-α r/R_{A0B0}})
]

[
nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} cdot -alpha/R_{A0B0} cdot frac{d}{dr}(r^3 cdot e^{-alpha r/R_{A0B0}})
]

回顾 ( R_{A0B0} ) 很大，而 ( r ) 很小：

[
nabla^2 f(r) approx -3alpha/R_{A0B0}} )
]

因此，我们可以得到一个与粒子间距离的倒数成正比的电势。

在量子力学领域，将粒子描述为波函数代表了经典物理学的根本转变，经典物理学通常将粒子视为具有确定位置和速度的离散实体。这种向波粒二象性的概念转变，使我们能够更全面地理解亚原子粒子（如电子和光子）的行为，特别是它们的相互作用、传播以及束缚对其量子态的影响。

量子力学认为，每个粒子都与波函数相关联，波函数以位置和时间为函数，对粒子的量子态进行概率描述。波函数通常表示为 Ψ (Psi)，它囊括了粒子量子态的所有信息，是根据薛定谔方程预测粒子量子态如何随时间演变的基础。

本介绍深入探讨了两种基本粒子波函数的数学建模，通过一个全面的数学框架来探索它们的总和与相互作用。这些粒子的建模方式使我们能够在非相对论量子力学的框架内，研究它们在各种变换（如坐标系变化）和相互作用下的动态。

波函数的数学表示法

量子力学中粒子波函数的标准形式是复值，包含振幅和相位。该函数是薛定谔方程的解，该方程描述了波函数如何在空间和时间中演变。该方程是线性的，允许解的叠加，这意味着如果两个波函数是解，它们的和也是解。这一原理是我们利用粒子各自的波函数来模拟粒子间相互作用的基础。

粒子相互作用建模

在我们的模型中，我们将两个粒子命名为 $𝐴_{0}$ A0 和 $𝐵_{0}$ B0，各自由其波函数描述。然后，整个系统由这些波函数的叠加来描述，从而产生一个组合波函数，提供一个概率振幅场。分析这些叠加有助于我们理解粒子如何通过干涉和纠缠等现象影响彼此的量子态。

向球面坐标过渡

在量子系统分析中，选择合适的坐标系可以大大简化数学处理，尤其是在处理原子或球形势阱等球形对称系统时。通过转换到球面坐标系，我们可以更有效地描述系统的径向依赖性和角动量特性。当物理系统的自然对称性与球面坐标一致时，这种坐标转换至关重要，而原子和分子系统通常就是这种情况。

关注动能

在我们的模型中，我们假设势能 $𝑉$ V 为空，这意味着我们只关注量子系统的动能部分。这种简化在理论处理自由粒子或说明基本量子力学概念时很常见，无需考虑势能的复杂因素。动能算子表示为 $𝑇$ T，成为波函数描述的动力学的主要驱动力。

高级数学技术

在我们的分析中，使用球面坐标的拉普拉斯等高级数学技术是不可或缺的。这些技术使我们能够深入研究波函数的微分方面，从而深入了解系统空间配置的变化如何影响粒子的行为。尤其是拉普拉斯算子，它在决定波函数的振幅和相位如何在空间中演变方面起着关键作用，而波函数的振幅和相位与系统的可观测特性（如位置和矩量的分布）直接相关。

总之，以上介绍为详细探索粒子相互作用的量子力学模型奠定了基础。通过研究波函数的叠加和薛定谔方程在无势能背景下的应用，我们旨在揭示基本粒子在纯动力学框架下的微妙动态，从而丰富我们对量子力学及其基本原理的理解。

让我们来分解其中的关键部分，并总结一下数学进展：

1.波函数表示法

两个粒子 $A_0$ A0 和 $B_0$ B0 的波函数建模：

$Psi(x, y, z, t) = A e^{-α({x, y, z} – A_0)} e^{iomega_1 t} 。+ B e^{-beta({x, y, z} – B_0)} e^{iomega_2 t}.$ Ψ（x,y,z,t）=Ae-α（{x,y,z}-A0）eiω1t+Be-β（{x,y,z}-B0）eiω2t。

这种表示法假定

振幅项( $A, B$ A,B) 和空间衰减 ( $e^{-αr}, e^{-beta r})$ e-αr,e-βr).
振荡时间相关性( $e^{iomega t｝$ eiωt）的量子态特征。

2.改用球面坐标

改用球面坐标可简化对径向相关性的分析，尤其是在研究一个粒子周围的局部相互作用时（如 $B_0$ B0):

$Psi(R, t) = A e^{-α(R_{A_0B_0} + r)} e^{iomega_1(t+d_1)} + B e^{-beta r} e^{iomega_2(t+d_2)}.$ Ψ(R,t)=Ae-α(RA0B0+r)eiω1(t+d1)+Be-βreiω2(t+d2)。

此处为

$R_{A_0B_0}$ RA0B0：粒子间的固定距离 $A_0$ 和 $B_0$ B0.
$r$ r:与 $B_0$ B0.

3.薛定谔方程的应用

假设没有势能 ( $V = 0$ V=0），动能算子 ( $T$ T）控制着波函数的演变：

$ihbar frac{partial}{partial t} = -frac{hbar^2}{2m} nabla^2 Psi(R, t) .Psi(R, t) = -frac{hbar^2}{2m} nabla^2 Psi(R, t)。$ iℏ∂t∂Ψ(R,t)=-2mℏ2∇2Ψ(R,t).

重点关注 $A$ A 的贡献，空间项简化为

$Psi(R, t) sim A e^{-α R_{A_0B_0}} e^{-α frac{r}{R_{A_0B_0}}}.$ Ψ（R，t）∼Ae-αRA0B0e-αRA0B0r。

4.球面坐标中的拉普拉斯算子

使用拉普拉斯算子计算径向相关函数：

$nabla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{partial}{partial r} left( r^2 frac{partial}{partial r} f(r) right)、$ ∇2f(r)=r21∂r∂(r2∂r∂f(r))、

我们可以计算出

$f(r) = e^{-α frac{r}{R_{A_0B_0}}}.$ f(r)=e-αRA0B0r.

步骤： 1：

计算 $r^2 frac{partial}{partial r}$ r2∂r∂： $r^2 frac{partial}{partial r} left( e^{-α frac{r}{R_{A_0B_0}}} right) = r^2 left( -frac{alpha}{R_{A_0B_0}} e^{-α frac{r}{R_{A_0B_0}}} right).$ r2∂r∂(e-αRA0B0r)=r2(-RA0B0αe-αRA0B0r).
再次微分： $nabla^2 f(r) approx -frac{3alpha}{R_{A_0B_0}}.$ ∇2f(r)≈-RA0B03α。

5.新兴反距离势能

拉普拉斯函数揭示了波函数产生了一个与以下内容成正比的项 $frac{-1}{R_{A_0B_0}}$ RA0B0-1，意味着有效势能与粒子间的距离成反比。这表明，量子波函数形式主义自然会产生类似引力或相互作用的效应。

关键物理启示

波函数相互作用：叠加原理可以模拟粒子的相互作用，其中的干涉模式编码了粒子的相对位置和动力学信息。
动能主导：假定没有势能，分析就会完全集中在动能项驱动的空间和时间演变上。
引力类比：波函数行为中出现的反距离项暗示了类似引力相互作用的量子基础，即波的特性控制着长程效应。

未来方向

加入势能：添加势能 $V(r)$ V(r) 可以完善模型，捕捉作用在粒子上的外力或场。
相对论修正：要建立完整的量子引力框架，可能需要扩展到相对论波方程（如克莱因-戈登方程或狄拉克方程）。
纠缠与非局域性：研究波函数如何相互影响可以探索引力中的纠缠或非局域相互作用机制。

这一数学框架为以引力解释理解量子相互作用提供了踏脚石，有可能成为量子力学和经典引力的桥梁。